Encontre a solução de estado estacionário da equação do calor, satisfazendo as condições de contorno a seguir:
u(0, t)=0, u(L, t)=40

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estado estacionário da equação do calor. O que a gente precisa aqui é encontrar a temperatura $ u(x) $ ao longo de uma barra de comprimento $ L $ que está em equilíbrio térmico, ou seja, sem variação de temperatura ao longo do tempo. As condições de contorno que temos são:
  • $ u(0) = 0 $: a temperatura na posição 0 é 0°C.
  • $ u(L) = 40 $: a temperatura na posição $ L $ é 40°C.
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e condições de contorno para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estado estacionário. Na equação do calor, isso quer dizer que a temperatura não muda mais com o tempo. Matematicamente, a equação do calor geral é:
partial upartial t = alpha partial^2 upartial x^2
No estado estacionário, a derivada em relação ao tempo é zero ($ \frac{\partial u}{\partial t} = 0 $), então a equação simplifica para:
partial upartial t = 0
Como $ \alpha $ é uma constante positiva, podemos dividir os dois lados por $ \alpha $ e ficar com:
0 = alpha partial^2 upartial x^2

Passo 3

Agora, nossa equação diferencial é:
d^2 udx^2 = 0
Para resolver essa equação, vamos integrar duas vezes em relação a $ x $.
Primeira integração:
x
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração.
Segunda integração:
dudx = C1
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os valores dessas constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições de contorno fornecidas.
Primeira condição de contorno: $ u(0) = 0 $
Substituindo na equação:
C1
Segunda condição de contorno: $ u(L) = 40 $
Substituindo na equação com $ C_2 = 0 $:
C2

Passo 5

Agora que temos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a solução completa:
C1
Essa é a distribuição de temperatura ao longo da barra no estado estacionário.

Resposta

A solução de estado estacionário é:
u(x) = 40L , x

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