Encontre a solução de estado estacionário da equação do calor, satisfazendo as condições de contorno a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estado estacionário da equação do calor. O que a gente precisa aqui é encontrar a temperatura $ u(x) $ ao longo de uma barra de comprimento $ L $ que está em equilíbrio térmico, ou seja, sem variação de temperatura ao longo do tempo. As condições de contorno que temos são:
- $ u(0) = 0 $: a temperatura na posição 0 é 0°C.
- $ u(L) = 40 $: a temperatura na posição $ L $ é 40°C.
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e condições de contorno para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estado estacionário. Na equação do calor, isso quer dizer que a temperatura não muda mais com o tempo. Matematicamente, a equação do calor geral é:
No estado estacionário, a derivada em relação ao tempo é zero ($ \frac{\partial u}{\partial t} = 0 $), então a equação simplifica para:
Como $ \alpha $ é uma constante positiva, podemos dividir os dois lados por $ \alpha $ e ficar com:
Passo 3
Agora, nossa equação diferencial é:
Para resolver essa equação, vamos integrar duas vezes em relação a $ x $.
Primeira integração:
Onde $ C_1 $ é uma constante de integração.
Segunda integração:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os valores dessas constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições de contorno fornecidas.
Primeira condição de contorno: $ u(0) = 0 $
Substituindo na equação:
Segunda condição de contorno: $ u(L) = 40 $
Substituindo na equação com $ C_2 = 0 $:
Passo 5
Agora que temos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a solução completa:
Essa é a distribuição de temperatura ao longo da barra no estado estacionário.
Resposta
A solução de estado estacionário é: