Considere uma corda com 40 cm de comprimento cujas extremidades estão fixas. Considerando
, e que a corda é colocada em movimento a partir de uma velocidade inicial nula e posição inicial dada pela função
abaixo, determine
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma corda fixa nas duas extremidades, com 40 cm de comprimento. A corda começa a se mover sem velocidade inicial, e a posição inicial dela é dada pela função $ f(x) = 3 \sin(2\pi x) - 2 \sin(10\pi x) $. Nosso objetivo é encontrar $ u(x, t) $, que descreve a posição da corda em qualquer ponto $ x $ e tempo $ t $. Para isso, vamos usar conceitos de equações de onda e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, entendamos que a equação que descreve o movimento da corda é a equação de onda:
Aqui, $ a $ é a velocidade da onda na corda, que no nosso caso é 1 (como dado no enunciado). Como as extremidades estão fixas, as condições de contorno são:
com $ L = 40 , cm = 0.4 , m $.
Passo 3
A solução geral da equação de onda para essas condições de contorno pode ser expressa como uma série de senos, já que os senos naturalmente satisfazem as condições de contorno fixas:
Aqui, $ A_n $ e $ B_n $ são coeficientes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais. Primeiro, a posição inicial $ u(x, 0) = f(x) $:
Isso nos mostra que apenas os termos com $ n \pi / L = 2\pi $ e $ 10\pi $ são não nulos. Vamos encontrar $ n $ correspondentes:
Aqui percebemos um problema: para os modos serem compatíveis com as condições de contorno, $ n $ deve ser inteiro. Mas a função inicial tem senos com múltiplos de $ \pi x $, indicando que a função está expressa diretamente em termos das frequências naturais da corda. Portanto, simplificaremos assumindo que $ L = 1 $ para facilitar os cálculos, já que a função está em termos de $ \pi x $.
Passo 5
Assumindo $ L = 1 $, a solução simplifica para:
Agora aplicamos as condições iniciais. Como a velocidade inicial é nula, a derivada de $ u $ em relação a $ t $ no tempo zero é zero:
Isso implica que todos os $ B_n = 0 $.
Passo 6
Com $ B_n = 0 $, a solução fica:
Agora, igualamos isso à posição inicial $ u(x, 0) = f(x) $:
Comparando os coeficientes, vemos que:
E todos os outros $ A_n = 0 $.
Passo 7
Substituindo os valores de $ A_n $ na solução geral, temos:
Resposta
A função que descreve a posição da corda é: