Calcule a integral usando a integração por partes.
integral z^3 e^z d z.

Passo 1

Resumo do problema: a gente quer calcular a integral integral z^3 e^z ,dz usando o método de integração por partes, que serve bem quando temos um produto de polinômio com exponencial.

Passo 2

Escolha de u e dv: definimos u = z^3 e dv = e^z ,dz. Então du = 3z^2 ,dz e v = e^z. Aplicando a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du obtemos
integral z^3 e^z ,dz = z^3 e^z - integral 3z^2 e^z ,dz

Passo 3

Cálculo de integral 3z^2 e^z ,dz: podemos fatorar a constante 3
3integral z^2 e^z ,dz
De novo, escolha u = z^2, dv = e^z ,dz du = 2z ,dz, v = e^z. Logo
integral z^2 e^z ,dz = z^2 e^z - integral 2z e^z ,dz
e
3integral z^2 e^z ,dz = 3l(z^2 e^z - 2integral z e^z ,dzr)

Passo 4

Cálculo de integral z e^z ,dz: mais uma vez, com u = z, dv = e^z ,dz du = dz, v = e^z. Então
integral z e^z ,dz = z e^z - integral e^z ,dz = z e^z - e^z

Passo 5

Agregando tudo: começamos com
integral z^3 e^z ,dz = z^3 e^z - 3l(z^2 e^z - 2(z e^z - e^z)r)
Desenvolvendo:
z^3 e^z - 3z^2 e^z + 6(z e^z - e^z) = z^3 e^z - 3z^2 e^z + 6z e^z - 6e^z

Passo 6

Fatorando e^z:
integral z^3 e^z ,dz = e^zl(z^3 - 3z^2 + 6z - 6r) + C

Resposta

e^zl(z^3 - 3z^2 + 6z - 6r) + C

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