Calcule a integral usando a integração por partes.
integral1^3 r^3 ln r d r.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral definida de 1 a 3 de r^3ln r,dr usando o método de integração por partes, que é baseado na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Para isso, teremos que escolher adequadamente u e dv, derivar u e integrar dv.

Passo 2

A regra de integração por partes diz que, se u = u(r) e dv = v'(r),dr, então du = u'(r),dr e v = integral v'(r),dr, e valem:
Escolhemos u = ln r porque derivar o log simplifica, dv = r^3,dr para integrar facilmente.
Então du = 1r,dr e v = integral r^3,dr = r^44.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:
integral r^3 ln r,dr = u,v - integral v,du = r^44ln r - integral r^44 cdot 1r,dr

Passo 4

Simplificando a integral que restou:
integral r^44 cdot 1r,dr = 14 integral r^3,dr = 14 cdot r^44 = r^416

Passo 5

Logo, uma primitiva é
F(r) = r^44ln r - r^416 + C

Passo 6

Agora, avaliamos de r=1 até r=3:
F(3) = 3^44ln3 - 3^416 = 814ln3 - 8116,
F(1) = 1^44ln1 - 1^416 = 0 - 116 = -116

Passo 7

Subtraindo, obtemos:
integral1^3 r^3 ln r,dr = F(3) - F(1) = l(814ln3 - 8116r) - l(-116r) = 814ln3 - 8016

Passo 8

Convertendo 80/16 para número inteiro, chega-se a:
8016 = 5,

Passo 9

Portanto o valor da integral é dado por:
814ln3 - 5

Resposta

814ln3 - 5

Exercícios relacionados