Verifique por substituição que as funções dadas constituem uma base (soluções Linearmente independentes). Resolva o problema dado de valor inicial. Mostre os detalhes do que fizer.
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para as cinco EDOs indicadas (itens a até e): verificar que as duas soluções dadas são linearmente independentes (isto é, formam base de soluções) usando o Wronskiano, escrever a solução geral como combinação linear dessas soluções e, por fim, usar as condições iniciais para determinar as constantes e obter a solução particular.
Passo 2
Para cada item, calculamos o Wronskiano
mostramos que é não nulo, garantimos independência, escrevemos
e então aplicamos as condições iniciais para achar
e
.
Passo 3
a) Para
, com
e
:
Calculamos
Calculamos
Logo
Resolvendo o sistema
dá
,
.
Passo 4
b) Para
, com
,
:
Então
Passo 5
c) Para
, com
,
:
Calculamos derivadas e obtemos
Calculamos derivadas e obtemos
Logo
Passo 6
d) Para
, com
,
:
Então
Passo 7
e) Para
, com
,
:
Assim
Resolvendo dá
.
Resposta
a) y(x)=\frac{10}{3}e{2x}-\frac{1}{3}e{-4x}
b) y(x)=0.8\cos(5x)-1.3\sin(5x)
c) y(x)=e^{-x}\cos x
d) y(x)=-1.4e^{3x}+8.8x e^{3x}
e) y(x)=0.5x3-0.1x5