Verifique por substituição que as funções dadas constituem uma base (soluções Linearmente independentes). Resolva o problema dado de valor inicial. Mostre os detalhes do que fizer.
a) y^prime prime-16 y=0, y1(x)=e^2 x, y2(x)=e^-4 x, y(0)=3, y^prime(0)=8;
b) y^prime prime+25 y=0, y1(x)=cos (5 x), y2(x)=sin (5 x), y(0)=0,8, y^prime(0)=-6,5;
c) y^prime prime+2 y^prime+2 y=0, y1(x)=e^-x cos (x), y2(x)=e^-x sin (x), y(0)=1, y^prime(0)=-1;
d) y^prime prime-6 y^prime+9 y=0, y1(x)=e^3 x, y2(x)=x e^3 x, y(0)=-1,4, y^prime(0)=4,6;
e) x^2 y^prime prime-7 x y^prime+15 y=0, y1(x)=x^3, y2(x)=x^5, y(1)=0,4, y^prime(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede para as cinco EDOs indicadas (itens a até e): verificar que as duas soluções dadas são linearmente independentes (isto é, formam base de soluções) usando o Wronskiano, escrever a solução geral como combinação linear dessas soluções e, por fim, usar as condições iniciais para determinar as constantes e obter a solução particular.

Passo 2

Para cada item, calculamos o Wronskiano
W(y1,y2)=y1 y2' - y1' y2
mostramos que é não nulo, garantimos independência, escrevemos
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)
e então aplicamos as condições iniciais para achar C1 e C2.

Passo 3

a) Para y''-16y=0, com y1=e^2x e y2=e^-4x:
Calculamos
y1'=2e^2x, y2'=-4e^-4x, W=-6e^-2xneq0
Logo
y=C1e^2x+C2e^-4x, y(0)=C1+C2=3, y'=2C1e^2x-4C2e^-4x, y'(0)=2C1-4C2=8
Resolvendo o sistema C1+C2=3,;2C1-4C2=8 C1=10/3, C2=-1/3.

Passo 4

b) Para y''+25y=0, com y1=cos5x, y2=sin5x:
W=5(cos^2 5x+sin^2 5x)=5neq0
Então
y=C1cos5x+C2sin5x, y(0)=C1=0.8, y'=-5C1sin5x+5C2cos5x, y'(0)=5C2=-6.5 Rightarrow C2=-1.3

Passo 5

c) Para y''+2y'+2y=0, com y1=e^-xcos x, y2=e^-xsin x:
Calculamos derivadas e obtemos
W=e^-2x(cos^2x+sin^2x)=e^-2xneq0
Logo
y=C1e^-xcos x+C2e^-xsin x, y(0)=C1=1, y'=C1y1'+C2y2', y'(0)=-C1+C2=-1Rightarrow C2=0

Passo 6

d) Para y''-6y'+9y=0, com y1=e^3x, y2=xe^3x:
W=e^6x(1+3x-3x)=e^6xneq0
Então
y=C1e^3x+C2xe^3x, y(0)=C1=-1.4, y'=3C1e^3x+C2e^3x(1+3x), y'(0)=3C1+C2=4.6Rightarrow C2=8.8

Passo 7

e) Para x^2y''-7xy'+15y=0, com y1=x^3, y2=x^5:
W=2x^7neq0;(xneq0)
Assim
y=C1x^3+C2x^5, y(1)=C1+C2=0.4, y'=3C1x^2+5C2x^4,;y'(1)=3C1+5C2=1
Resolvendo dá C1=0.5,;C2=-0.1.

Resposta

a) y(x)=\frac{10}{3}e{2x}-\frac{1}{3}e{-4x}
b) y(x)=0.8\cos(5x)-1.3\sin(5x)
c) y(x)=e^{-x}\cos x
d) y(x)=-1.4e^{3x}+8.8x e^{3x}
e) y(x)=0.5x3-0.1x5

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