Calcule a integral usando a integração por partes.
.
Passo 1
Primeiro, a gente tem a integral
. Isso cai em integração por partes, pois envolve uma função (
) que é fácil de derivar e uma diferencial simples
. Vamos usar a fórmula
e saber que
.
Passo 2
Escolhemos
e
. Daí,
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos:
[\displaystyle \int_{0}^{1/2} \arccos(x),dx = \bigl[x,\arccos(x)\bigr]{0}^{1/2} - \int{0}^{1/2} x,\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr),dx = \bigl[x,\arccos(x)\bigr]{0}^{1/2} + \int{0}^{1/2} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}},dx.]
[\displaystyle \int_{0}^{1/2} \arccos(x),dx = \bigl[x,\arccos(x)\bigr]{0}^{1/2} - \int{0}^{1/2} x,\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr),dx = \bigl[x,\arccos(x)\bigr]{0}^{1/2} + \int{0}^{1/2} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}},dx.]
Passo 4
Para resolver
, nota-se que a derivada de
é
. Logo:
[\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}},dx = -\sqrt{1-x^2} + C.]
[\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}},dx = -\sqrt{1-x^2} + C.]
Passo 5
Assim, no nosso intervalo, isso vale
.
Avaliando o termo de fronteira fica . Somando com o resultado da outra integral (
), chegamos ao valor da integral.
Avaliando o termo de fronteira fica