Calcule a integral usando a integração por partes.
integral0^1 / 2 cos ^-1 x d x.

Passo 1

Primeiro, a gente tem a integral integral0^1/2 arccos(x),dx. Isso cai em integração por partes, pois envolve uma função ( arccos(x)) que é fácil de derivar e uma diferencial simples dx. Vamos usar a fórmula integral u,dv = [u,v] - integral v,du e saber que ddxarccos(x) = -1raiz1-x^2.

Passo 2

Escolhemos u = arccos(x) e dv = dx. Daí, du = -1raiz1-x^2,dx e v = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos:
[\displaystyle \int_{0}^{1/2} \arccos(x),dx = \bigl[x,\arccos(x)\bigr]{0}^{1/2} - \int{0}^{1/2} x,\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr),dx = \bigl[x,\arccos(x)\bigr]{0}^{1/2} + \int{0}^{1/2} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}},dx.]

Passo 4

Para resolver integral0^1/2 xraiz1-x^2,dx, nota-se que a derivada de raiz1-x^2 é -tfracxraiz1-x^2. Logo:
[\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}},dx = -\sqrt{1-x^2} + C.]

Passo 5

Assim, no nosso intervalo, isso vale -raiz1-(1/2)^2 + raiz1-0^2 = -tfracraiz32 + 1.
Avaliando o termo de fronteira fica l[x,arccos(x)r]0^1/2 = tfrac12,arccos(tfrac12) - 0 = tfracpi6. Somando com o resultado da outra integral ( 1 - tfracraiz32), chegamos ao valor da integral.

Resposta

1 + tfracpi6 - tfracraiz32

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