Nos problemas, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são Linearmente independentes no intervalo indicado.
a)
em
;
b)
;
c)
;
d)
;
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos mostrar que cada par de funções é linearmente independente no intervalo dado, calculando o Wronskiano. A matéria trata de dependência linear de funções e Wronskiano. Para resolver, derivamos as funções, montamos o determinante
e verificamos se ele é não nulo no intervalo.
Passo 2
Para
e
em
, temos
e
. Então
, que é diferente de zero para
. Logo são linearmente independentes.
Passo 3
Para
e
em
, temos
e
. Montando o Wronskiano:
. Esse Wronskiano não é identicamente zero (anula apenas em pontos isolados), portanto as funções são linearmente independentes em todo o intervalo.
Passo 4
Para
e
em
, temos
e
. Logo
. Logo são linearmente independentes.
Passo 5
Para
e
em
, as derivadas são
e
. Assim
, que é diferente de zero nesse intervalo. Logo são linearmente independentes.
Resposta
Em cada caso o Wronskiano é não nulo no intervalo indicado, portanto todas as funções dadas são linearmente independentes.