Nos problemas, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são Linearmente independentes no intervalo indicado.
a) y1(x)=raizx, y2(x)=x^2 em (0,+infty);
b) y1(x)=1+x, y2(x)=x^3 em(-infty,+infty);
c) y1(x)=sen(x), y2(x)=cos (x) em(0, pi);
d) y1(x)=tg(x), y2(x)=cotg(x) em(0, pi / 2);

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos mostrar que cada par de funções é linearmente independente no intervalo dado, calculando o Wronskiano. A matéria trata de dependência linear de funções e Wronskiano. Para resolver, derivamos as funções, montamos o determinante W(x)=y1(x),y2'(x)-y2(x),y1'(x) e verificamos se ele é não nulo no intervalo.

Passo 2

Para y1(x)=raizx e y2(x)=x^2 em (0,+infty), temos y1'=tfrac12raizx e y2'=2x. Então W(x)=raizxcdot2x - x^2cdottfrac12raizx=(2-tfrac12)x^3/2=tfrac32x^3/2, que é diferente de zero para x>0. Logo são linearmente independentes.

Passo 3

Para y1(x)=1+x e y2(x)=x^3 em (-infty, +infty), temos y1'=1 e y2'=3x^2. Montando o Wronskiano: W(x)=(1+x),3x^2 - x^3cdot1=3x^2+2x^3=x^2(3+2x). Esse Wronskiano não é identicamente zero (anula apenas em pontos isolados), portanto as funções são linearmente independentes em todo o intervalo.

Passo 4

Para y1(x)=sin(x) e y2(x)=cos(x) em (0,pi), temos y1'=cos(x) e y2'=-sin(x). Logo W(x)=sin(x)(-sin(x)) - cos(x)cos(x) = -sin^2(x)-cos^2(x) = -1neq0. Logo são linearmente independentes.

Passo 5

Para y1(x)=tan(x) e y2(x)=cot(x) em (0,pi/2), as derivadas são y1'=sec^2(x) e y2'=-csc^2(x). Assim W(x)=tan(x)(-csc^2(x)) - cot(x)sec^2(x) = -(tan(x)csc^2(x)+cot(x)sec^2(x)) = -tfrac2sin(x)cos(x), que é diferente de zero nesse intervalo. Logo são linearmente independentes.

Resposta

Em cada caso o Wronskiano é não nulo no intervalo indicado, portanto todas as funções dadas são linearmente independentes.

Exercícios relacionados