Resolva o seguinte (P.V.I.)
r y^prime prime+2 y^prime+2 y=5 sin (x)+5 cos (x) y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o problema de valor inicial (P.V.I.) de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e segundo membro senoidal:
y''+2y'+2y=5sin x+5cos x, y(0)=1, y'(0)=2
Vamos usar equação característica para a parte homogênea e método dos coeficientes indeterminados para a particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''+2y'+2y=0
O polinômio característico é r^2+2r+2=0, cujas raízes são r=-1pm i. Logo a solução homogênea é
yh=e^-x(Acos x+Bsin x)

Passo 3

Para achar uma solução particular, chutamos
yp=acos x+bsin x
Calculamos
yp'=-asin x+bcos x, yp''=-acos x-bsin x
e substituímos em y''+2y'+2y. Isso leva ao sistema
a+2b=5, b-2a=5,
cuja solução é a=-1 e b=3. Assim
yp=-cos x+3sin x

Passo 4

A solução geral é
y=yh+yp=e^-x(Acos x+Bsin x)-cos x+3sin x
Agora aplicamos as condições iniciais. Em x=0:
y(0)=A-1=1implies A=2,
y'(0)=(B-A)+3=2implies B-2+3=2implies B=1

Passo 5

Substituindo A=2 e B=1 na solução geral, obtemos a resposta final:

Resposta

y(x)=e^-x(2cos x+sin x)-cos x+3sin x

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