Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada.
integral raiz9-x^2x^2 d x ; x=3 sen theta.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral raiz9-x^2x^2,dx usando a substituição trigonométrica x=3sintheta. O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, e vamos precisar das fórmulas de derivada para x em função de theta e das identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Fazendo a substituição x=3sintheta, temos dx=3costheta,dtheta e raiz9-x^2=raiz9-9sin^2theta=3costheta. Então o integrando vira
raiz9-x^2x^2,dx =3costheta9sin^2thetatimes3costheta,dtheta =cot^2theta,dtheta
Para integrar integralcot^2theta,dtheta, usamos a identidade cot^2theta+1=csc^2theta. Assim
integralcot^2theta,dtheta =integral(csc^2theta-1),dtheta = -cottheta - theta + C

Passo 3

Finalmente, voltamos a variável x. Como cottheta=costhetasintheta=raiz9-x^2/3x/3=raiz9-x^2x e theta=arcsinl(tfracx3r), obtemos a resposta em x:

Resposta

-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x} - \arcsin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C

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