Usando o método da variação dos parâmetros, mostre que a solução do problema de valor inicial
é dada por
Passo 1
O problema dado é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes:, com condições iniciais e . Vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular e depois ajustar as constantes pelo IVP.
Passo 2
A equação homogênea associada é . As soluções fundamentais são e , de modo que a solução geral da homogênea é .
Passo 3
Para a variação de parâmetros, supomos e impomos as condições auxiliares
Passo 4
O Wronskiano das soluções fundamentais é
Com isso, obtemos
u1'(x)=-f(x),sin(x), u2'(x)=f(x),cos(x)
Passo 5
Integramos para achar u1 e u2, escolhendo as constantes de integração de modo que não sobre termos extras no particular: