Usando o método da variação dos parâmetros, mostre que a solução do problema de valor inicial
y^prime prime+y=f(x), y(0)=x0, y^prime(0)=v0
é dada por
y(x)=x0 cos (x)+v0 sin (x)+integral0^x sin (x-s) f(s) d s

Passo 1

O problema dado é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y''+y=f(x), com condições iniciais y(0)=x0 e y'(0)=v0. Vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular e depois ajustar as constantes pelo IVP.

Passo 2

A equação homogênea associada é y''+y=0. As soluções fundamentais são y1(x)=cos(x) e y2(x)=sin(x), de modo que a solução geral da homogênea é yh=C1cos(x)+C2sin(x).

Passo 3

Para a variação de parâmetros, supomos yp(x)=u1(x)cos(x)+u2(x)sin(x) e impomos as condições auxiliares
u1'(x)cos(x)+u2'(x)sin(x)=0,
-,u1'(x)sin(x)+u2'(x)cos(x)=f(x)

Passo 4

O Wronskiano das soluções fundamentais é
W=cos(x)&sin(x) -sin(x)&cos(x)=cos^2(x)+sin^2(x)=1
Com isso, obtemos
u1'(x)=-f(x),sin(x), u2'(x)=f(x),cos(x)

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2, escolhendo as constantes de integração de modo que não sobre termos extras no particular:
u1(x)=-integral0^x sin(s)f(s),ds, u2(x)=integral0^x cos(s)f(s),ds

Passo 6

Então a solução particular fica
yp(x)=u1(x)cos(x)+u2(x)sin(x) =-cos(x)integral0^xsin(s)f(s),ds+sin(x)integral0^xcos(s)f(s),ds
Aplicando identidade trigonométrica de convolução, chega-se a
yp(x)=integral0^x sin(x-s)f(s),ds

Passo 7

A solução geral do IVP é
y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)+integral0^x sin(x-s)f(s),ds
Impondo y(0)=x0 C1=x0. Calculando y'(x)=-C1sin(x)+C2cos(x)+integral0^xcos(x-s)f(s),ds e impondo y'(0)=v0 C2=v0.

Passo 8

Logo a solução do problema de valor inicial é
y(x)=x0cos(x)+v0sin(x)+integral0^x sin(x-s)f(s),ds

Resposta

y(x)=x0cos(x)+v0sin(x)+integral0^xsin(x-s)f(s),ds

Exercícios relacionados