Calcule a integral usando integração por partes tabuladas
\int\left(3 x^{2}-x+2\right) e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (3x^{2}-x+2)\,e^{-x}\,dx
usando o método de integração por partes tabulada, que consiste em derivar repetidamente a parte polinomial até zerar e, paralelamente, integrar repetidamente a parte exponencial, combinando depois os termos com sinais alternados.

Passo 2

Montamos duas colunas: na primeira, as derivadas de f(x)=3x^{2}-x+2; na segunda, as integrais sucessivas de g'(x)=e^{-x}.
Derivadas de f:
\begin{aligned} f(x)&=3x^{2}-x+2,\\\ f'(x)&=6x-1,\\\ f''(x)&=6,\\\ f'''(x)&=0. \end{aligned}
Integrais de e^{-x}:
\begin{aligned} \int e^{-x}dx&=-e^{-x},\\\ \int(-e^{-x})dx&=e^{-x},\\\ \int e^{-x}dx&=-e^{-x}. \end{aligned}

Passo 3

Aplicamos a regra tabulada: multiplicamos em diagonal as entradas das duas colunas, alternando sinais +,-,+ até a linha anterior à zeragem de f. Assim,
\int (3x^{2}-x+2)\,e^{-x}dx =+(3x^{2}-x+2)\bigl(-e^{-x}\bigr) -(6x-1)\bigl(e^{-x}\bigr) +6\bigl(-e^{-x}\bigr) + C.

Passo 4

Agora simplificamos termo a termo:
+(3x^{2}-x+2)(-e^{-x}) =-(3x^{2}-x+2)e^{-x},
-(6x-1)(e^{-x}) =-(6x-1)e^{-x},
+6(-e^{-x}) =-6e^{-x}.
Somando tudo,
-(3x^{2}-x+2)e^{-x}-(6x-1)e^{-x}-6e^{-x} =\bigl[-3x^{2}+x-2-6x+1-6\bigr]e^{-x}
=\bigl(-3x^{2}-5x-7\bigr)e^{-x}.
Portanto,
\int (3x^{2}-x+2)\,e^{-x}dx =-(3x^{2}+5x+7)\,e^{-x}+C.

Resposta

-(3x^{2}+5x+7)\,e^{-x}+C.

Exercícios relacionados