Calcule a integral usando a técnica de integração por partes
\int_{0}^{2} x e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{0}^{2} x e^{2x}\,dx
usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x e dv = e^{2x}\,dx.
Então
du = dx
e para obter v integramos dv:
v = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes em forma indefinida,
\int x e^{2x}\,dx = u\,v - \int v\,du = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx.
Ainda integrando o segundo termo,
\int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}.
Logo uma primitiva é
F(x) = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 4

Para a integral definida, calculamos
F(2)-F(0) = \Bigl(\frac{2}{2}e^{4} - \frac{1}{4}e^{4}\Bigr) - \Bigl(\frac{0}{2}e^{0} - \frac{1}{4}e^{0}\Bigr) = \Bigl(e^{4}-\tfrac{1}{4}e^{4}\Bigr) - \Bigl(0 - \tfrac{1}{4}\Bigr).
Isso é
\frac{3}{4}e^{4} + \frac{1}{4} = \frac{3e^{4}+1}{4}.

Resposta

\int_{0}^{2} x e^{2x}\,dx = \frac{3e^{4}+1}{4}.

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