Considere a integral \int_{0}^{\infty} e^{-x} d x. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A) A integral diverge.
B) A integral converge para 1.
C) A integral converge para 0 .
D) A integral converge para e.
E) Nenhuma das Alternativas. A resposta correta é \qquad .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx.
Esse tipo de integral se resolve definindo-se
I = \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} e^{-x}\,dx.

Passo 2

Calculamos a integral de 0 a R. A antiderivada de e^{-x} é -e^{-x}, então
\int_{0}^{R} e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{R} = \bigl(-e^{-R}\bigr)-\bigl(-e^{0}\bigr) = 1 - e^{-R}.

Passo 3

Fazendo R\to\infty temos e^{-R}\to0. Portanto
I = \lim_{R\to\infty}\bigl(1 - e^{-R}\bigr) = 1.
Logo a integral converge e vale 1.

Resposta

(B)

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