Calcule a integral usando a noção de área:
\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\,dx
usando a noção de área. Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é \sqrt{1-x^{2}}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • A função \sqrt{1-x^{2}} é não negativa em [0,1].
    O objetivo é encontrar a área sob a curva y=\sqrt{1-x^{2}} entre x=0 e x=1.

Passo 2

Relacionar a função com a equação de uma circunferência. A equação da circunferência de raio 1 centrada na origem é
x^{2}+y^{2}=1.
Resolvendo essa equação para y obtemos as duas ramificações
y=\pm\sqrt{1-x^{2}}.
A função y=\sqrt{1-x^{2}} é justamente a ramificação superior (semicírculo superior) dessa circunferência, ou seja, para cada x entre -1 e 1 ela dá a coordenada y do ponto sobre a metade superior do círculo unitário.

Passo 3

Identificar a porção geométrica cuja área queremos. No intervalo x\in[0,1] a curva y=\sqrt{1-x^{2}} descreve um quarto do círculo de raio 1: quando x vai de 0 a 1 percorre-se da posição (0,1) até (1,0) no semicírculo superior, isto é, a região é exatamente o quarto superior-direito do disco unitário. Como a função é contínua e não negativa em [0,1], a integral definida corresponde à área dessa região. Portanto
\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\,dx = \text{(área do quarto do disco unitário)}.áá

Passo 4

Calcular a área do quarto do disco unitário. A área do círculo de raio r é dada pela fórmula
\text{Área do círculo}=\pi r^{2},Áí
onde r é o raio. Aqui r=1, então a área do círculo inteiro é \pi. Um quarto desse círculo tem área \dfrac{\pi}{4}. Assim
\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\,dx=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

(Aula prática extra — método alternativo por substituição trigonométrica, útil para provas) Mostrar rapidamente o mesmo resultado por substituição x=\sin\theta. Seja x=\sin\theta. Então quando x=0 tem \theta=0 e quando x=1 tem \theta=\tfrac{\pi}{2}. Além disso dx=\cos\theta\,d\theta e
\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta\quad(\text{para }0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\text{ a } \cos\theta\ge0).
Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\cdot \cos\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,d\theta.
Usando a identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2} obtemos
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \left[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi/4 + 0}{1}=\frac{\pi}{4}.
Portanto a substituição confirma o resultado geométrico.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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