Calcule a integral usando a noção de área:
\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x
\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a noção de área. Informações dadas e observações imediatas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - A função
é não negativa em .
O objetivo é encontrar a área sob a curvaentre e .
Passo 2
Relacionar a função com a equação de uma circunferência. A equação da circunferência de raio
centrada na origem é
Resolvendo essa equação para
obtemos as duas ramificações
A função
é justamente a ramificação superior (semicírculo superior) dessa circunferência, ou seja, para cada
entre
e
ela dá a coordenada
do ponto sobre a metade superior do círculo unitário.
Passo 3
Identificar a porção geométrica cuja área queremos. No intervalo
a curva
descreve um quarto do círculo de raio
: quando
vai de
a
percorre-se da posição
até
no semicírculo superior, isto é, a região é exatamente o quarto superior-direito do disco unitário. Como a função é contínua e não negativa em
, a integral definida corresponde à área dessa região. Portanto
Passo 4
Calcular a área do quarto do disco unitário. A área do círculo de raio
é dada pela fórmula
onde
é o raio. Aqui
, então a área do círculo inteiro é
. Um quarto desse círculo tem área
. Assim
Passo 5
(Aula prática extra — método alternativo por substituição trigonométrica, útil para provas) Mostrar rapidamente o mesmo resultado por substituição
. Seja
. Então quando
tem
e quando
tem
. Além disso
e
Substituindo na integral:
Usando a identidade
obtemos
Portanto a substituição confirma o resultado geométrico.