Calcule a integral usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \operatorname{sen} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin\theta \, d\theta
usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, vamos encontrar uma primitiva de \sin\theta e depois avaliar nos limites de integração.

Passo 2

Precisamos de uma função F(\theta) tal que
F'(\theta)=\sin\theta.
Sabemos que
F(\theta) = -\cos\theta,
pois \frac{d}{d\theta}[-\cos\theta]=\sin\theta.

Passo 3

Aplicando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin\theta \, d\theta = F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) \;-\; F\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Substituindo F(\theta)=-\cos\theta, obtemos
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, \quad F\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 4

Logo,
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin\theta \, d\theta = 0 - 0 = 0.
Além disso, faz sentido pois \sin\theta é função ímpar e o intervalo de integração é simétrico em relação à origem.

Resposta

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