\int_{0}^{1} \frac{x d x}{\sqrt{1+x^{2}}}=?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x^{2}}}.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos uma função composta do tipo \sqrt{1+x^2} e seu derivado aparece em x\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + x^{2},
de modo que
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Precisamos também mudar os limites de integração:
quando x=0, u=1+0^2=1;
quando x=1, u=1+1^2=2.
Logo, a integral original vira
\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x^{2}}} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora, basta integrar:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12}
portanto
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[2\,u^{\tfrac12}\Bigr]_{1}^{2} = \bigl[u^{\tfrac12}\bigr]_{1}^{2} = \sqrt{2}-\sqrt{1} = \sqrt{2}-1.

Resposta

\sqrt{2}-1

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