3* Questăo: Com as fortes chuvas na Semana Santa, a regiăo sul da Bahia enfrentou situaçōes de alagamento em algumas cidades. Isto ocorre quando a quantidade de água a chuva infiltrada no solo se torna maior que a sua capacidade de absorção, nestes casos, a natureza recorre ao processo de percolação, que consiste em eliminar a água por processo de escoamento do líquido dispersando o fluxo ou por evaporação. A função da corrente de escoamento submetido a uma percolação, com o fluxo de címa para baixo, pode ser modelada por uma equaçãq
, em que
é uma constante, h é a pressão da diferença da carga de entrada e saida da água e A é a área da região de percolação. Sabendo que a taxa de pressão é de
, a taxa de variação da área está decrescendo a cada
, ache a taxa de variação do volume no instante em que a pressão é
e a área é de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
é constante,
e
variam com o tempo
. Precisamos achar
no instante em que
,
, sabendo que
(unidades de
por minuto) e
(unidades de
por minuto). O conteúdo é aplicação de derivada total (regra da cadeia) a uma função de duas variáveis.
Passo 2
Aplicamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Substituímos em
:
Agora colocamos
,
,
,
:
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Passo 5
Portanto, no instante pedido, a taxa de variação do volume é