3* Questăo: Com as fortes chuvas na Semana Santa, a regiăo sul da Bahia enfrentou situaçōes de alagamento em algumas cidades. Isto ocorre quando a quantidade de água a chuva infiltrada no solo se torna maior que a sua capacidade de absorção, nestes casos, a natureza recorre ao processo de percolação, que consiste em eliminar a água por processo de escoamento do líquido dispersando o fluxo ou por evaporação. A função da corrente de escoamento submetido a uma percolação, com o fluxo de címa para baixo, pode ser modelada por uma equaçãq \mathrm{V}(\mathrm{h}, \mathrm{A})=\gamma_{w} h A_{\text {a }}, em que \gamma_{w} é uma constante, h é a pressão da diferença da carga de entrada e saida da água e A é a área da região de percolação. Sabendo que a taxa de pressão é de 0,4 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}, a taxa de variação da área está decrescendo a cada 0,15 \mathrm{~m} / \mathrm{min}, ache a taxa de variação do volume no instante em que a pressão é 200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} e a área é de 6000 \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função
V(h,A)=\gamma_{w}\,h\,A
onde \gamma_{w} é constante, h e A variam com o tempo t. Precisamos achar \dfrac{dV}{dt} no instante em que h=200, A=6000, sabendo que \dfrac{dh}{dt}=0,4 (unidades de h por minuto) e \dfrac{dA}{dt}=-0,15 (unidades de A por minuto). O conteúdo é aplicação de derivada total (regra da cadeia) a uma função de duas variáveis.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
\frac{dV}{dt} =\frac{\partial V}{\partial h}\,\frac{dh}{dt} +\frac{\partial V}{\partial A}\,\frac{dA}{dt}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial V}{\partial h} =\gamma_{w}\,A, \qquad \frac{\partial V}{\partial A} =\gamma_{w}\,h.

Passo 4

Substituímos em \dfrac{dV}{dt}:
\frac{dV}{dt} =\gamma_{w}\,A\;\frac{dh}{dt} +\gamma_{w}\,h\;\frac{dA}{dt} =\gamma_{w}\bigl(A\,\tfrac{dh}{dt}+h\,\tfrac{dA}{dt}\bigr).
Agora colocamos A=6000, h=200, \tfrac{dh}{dt}=0,4, \tfrac{dA}{dt}=-0,15:
A\,\frac{dh}{dt}=6000\times0,4=2400, \qquad h\,\frac{dA}{dt}=200\times(-0,15)=-30,
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\frac{dV}{dt} =\gamma_{w}\,(2400-30) =\gamma_{w}\times2370.

Passo 5

Portanto, no instante pedido, a taxa de variação do volume é
\frac{dV}{dt}=2370\,\gamma_{w}.

Resposta

\displaystyle \frac{dV}{dt}=2370\,\gamma_{w}.

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