\int_{0}^{4} \sin (5 x) \cos ^{2}(5 x) d x= ?

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{4}\sin(5x)\cos^{2}(5x)\,dx.
Aqui vamos usar o método de substituição, pois a derivada de \cos(5x) é proporcional a -\sin(5x), que aparece dentro da integral.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \cos(5x), \quad du = -5\sin(5x)\,dx \;\Longrightarrow\; \sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\,du.
Assim a integral torna-se
\int \sin(5x)\cos^{2}(5x)\,dx = \int u^{2}\,\bigl(-\tfrac{1}{5}\,du\bigr) = -\,\frac{1}{5}\int u^{2}\,du.

Passo 3

Integramos em u:
-\,\frac{1}{5}\int u^{2}\,du = -\,\frac{1}{5}\,\frac{u^{3}}{3} + C = -\,\frac{u^{3}}{15} + C.

Passo 4

Voltando para x, a antiderivada é
F(x) = -\,\frac{\cos^{3}(5x)}{15}.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 4:
\Bigl[F(x)\Bigr]_{0}^{4} = -\frac{\cos^{3}(20)}{15} - \Bigl(-\frac{\cos^{3}(0)}{15}\Bigr) = \frac{1-\cos^{3}(20)}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{1-\cos^{3}(20)}{15}

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