Calcule a integral usando substituição ou integração por partes.
integral0^3 15 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^315x+1,dx. O conteúdo é integração por substituição em integrais de funções da forma f(ax+b), e vamos usar a regra de que integral f(ax+b),dx=tfrac1aF(ax+b), onde F' = f.

Passo 2

Fazendo a substituição u=5x+1, temos du=5,dx e portanto dx=tfracdu5. Também ajustamos os limites: quando x=0, u=1; quando x=3, u=16.
Substituindo na integral original, obtemos:
integral0^315x+1,dx =integral1^161ucdotdu5 =15integral1^161u,du

Passo 3

Agora calculamos integral1^161u,du=[ln|u|]1^16=ln(16)-ln(1)=ln(16). Então a integral vale tfrac15ln(16).
Por fim, como ln(16)=ln(2^4)=4ln(2), temos o resultado simplificado: 45ln(2).

Resposta

45ln(2)

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