Resolva (formalmente) o PVIF
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver um problema de valor de contorno para a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial. A gente vai precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução. Basicamente, vamos encontrar como a temperatura $ u(x,t) $ varia no espaço e no tempo dadas as condições iniciais e de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de $ x $ e outra que depende só de $ t $. Ou seja, $ u(x,t) = X(x)T(t) $. Isso é uma técnica comum chamada de separação de variáveis.
Passo 3
Substituindo $ u(x,t) = X(x)T(t) $ na equação do calor $ u_t = K u_{xx} $, temos:
Dividindo ambos os lados por $ K X(x) T(t) $:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias:
- Para $ T(t) $:
A solução dessa equação é:
- Para $ X(x) $:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas.
Passo 5
As soluções para $ X(x) $ são:
Aplicando as condições de contorno para determinar os valores próprios $ \lambda_n $ e os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $.
Passo 6
As condições de contorno são:
Isso se traduz para as derivadas de $ X(x) $. Calculando $ u_x = X’(x)T(t) $, aplicamos nas condições:
Estas equações nos ajudarão a encontrar os valores de $ \lambda_n $.
Passo 7
Resolvendo $ X’(0) = 0 $:
Portanto, $ B_n = 0 $. Então, $ X_n(x) = A_n \cos\left(\sqrt{\lambda_n} x\right) $.
Passo 8
Aplicando a segunda condição de contorno $ X’(L) + k X(L) = 0 $:
E
Então,
Dividindo por $ A_n $:
Passo 9
Essa equação transcendente determina os valores próprios $ \lambda_n $. Geralmente, esses valores precisam ser encontrados numericamente, mas para certos casos específicos de $ k $ e $ L $, podem ter soluções analíticas.
Passo 10
Com os $ \lambda_n $ encontrados, a solução geral é uma soma das soluções particulares:
Os coeficientes $ A_n $ são determinados pela condição inicial $ u(x,0) = f(x) $ através da expansão em série de Fourier.
Resposta
A solução do problema é dada por
onde os coeficientes $ A_n $ são encontrados a partir da condição inicial $ f(x) $ e os valores próprios $ \lambda_n $ satisfazem a equação