Resolva (formalmente) o PVIF
& ut=K ux x, em mathscrR, & ux(0, t)=ux(L, t)+k u(L, t)=0, para t>0, & u(x, 0)=f(x), para 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver um problema de valor de contorno para a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial. A gente vai precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução. Basicamente, vamos encontrar como a temperatura $ u(x,t) $ varia no espaço e no tempo dadas as condições iniciais e de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de $ x $ e outra que depende só de $ t $. Ou seja, $ u(x,t) = X(x)T(t) $. Isso é uma técnica comum chamada de separação de variáveis.

Passo 3

Substituindo $ u(x,t) = X(x)T(t) $ na equação do calor $ u_t = K u_{xx} $, temos:
u(x,t) = X(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por $ K X(x) T(t) $:
ut = K uxx
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para $ T(t) $:
T(t)
A solução dessa equação é:
dTdt + K lambda T = 0
  1. Para $ X(x) $:
T(t) = T0 e^-K lambda t
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas.

Passo 5

As soluções para $ X(x) $ são:
X(x)
Aplicando as condições de contorno para determinar os valores próprios $ \lambda_n $ e os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $.

Passo 6

As condições de contorno são:
ux(0, t) = 0 e ux(L, t) + k u(L, t) = 0
Isso se traduz para as derivadas de $ X(x) $. Calculando $ u_x = X’(x)T(t) $, aplicamos nas condições:
X(x)
Estas equações nos ajudarão a encontrar os valores de $ \lambda_n $.

Passo 7

Resolvendo $ X’(0) = 0 $:
X'(0) = 0
Portanto, $ B_n = 0 $. Então, $ X_n(x) = A_n \cos\left(\sqrt{\lambda_n} x\right) $.

Passo 8

Aplicando a segunda condição de contorno $ X’(L) + k X(L) = 0 $:
X'(L) + k X(L) = 0
E
X'(L) = -An raizlambdan sin(raizlambdan L)
Então,
k X(L) = k An cos(raizlambdan L)
Dividindo por $ A_n $:
- An raizlambdan sin(raizlambdan L) + k An cos(raizlambdan L) = 0

Passo 9

Essa equação transcendente determina os valores próprios $ \lambda_n $. Geralmente, esses valores precisam ser encontrados numericamente, mas para certos casos específicos de $ k $ e $ L $, podem ter soluções analíticas.

Passo 10

Com os $ \lambda_n $ encontrados, a solução geral é uma soma das soluções particulares:
lambdan
Os coeficientes $ A_n $ são determinados pela condição inicial $ u(x,0) = f(x) $ através da expansão em série de Fourier.

Resposta

A solução do problema é dada por
u(x,t) = sumn=1^infty An cos(raizlambdan x) e^-K lambdan t
onde os coeficientes $ A_n $ são encontrados a partir da condição inicial $ f(x) $ e os valores próprios $ \lambda_n $ satisfazem a equação
An

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