Calcule a integral usando substituição ou integração por partes.
integral cos ^4(theta) sen(theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos^4(theta),sin(theta),dtheta. O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos sin(theta),dtheta multiplicando uma função de cos(theta). Vamos precisar usar que a derivada de cos(theta) é -sin(theta).

Passo 2

Escolhemos a substituição u=cos(theta). Assim, derivando ambos os lados: du=-sin(theta),dtheta. Logo podemos escrever sin(theta),dtheta=-du. Substituindo na integral original, temos
integralcos^4(theta),sin(theta),dtheta = -integral u^4,du

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência para polinômios: integral u^4,du=u^55+C. Portanto
-integral u^4,du = -u^55+C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável theta usando u=cos(theta). Assim, a primitiva fica
-cos^5(theta)5+C

Resposta

-dfraccos^5(theta)5+C

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