Resolva (formalmente) o PVIF
Passo 1
Primeiro, resumindo o que temos: é a equação do calor em uma barra de comprimento L, com coeficiente de difusão K, sujeita a condições de contorno do tipo Robin em x=0 e x=L e dado o perfil inicial u(x,0)=f(x). Vamos usar separação de variáveis e teoria de Sturm–Liouville para obter a expansão em autovalores e autovetores.
Passo 2
Assumimos solução da forma u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em u_t=K u_{xx} e dividindo por XT, temos a igualdade de duas funções independentes: uma só de t e outra só de x. Logo introduzimos o parâmetro de separação –λ e obtemos as ODEs:
Passo 3
As condições de contorno em X são:
Passo 4
Para λ>0 escrevemos λ=μ^2 e a solução geral da ODE espacial é X(x)=A\cos(μx)+B\sin(μx). Aplicando em x=0 temos Bμ+k_{0}A=0 ⇒ B=−(k_{0}/μ)A. Em x=L impomos
o que leva à condição de quantização dos μ:
Passo 5
As raízes positivas μ_n dessa equação são os autovalores espaciais. Para cada μ_n, escolhemos a autofunção não normalizada
Passo 6
A equação temporal dá T_{n}(t)=e{-Kμ_n2 t}. A solução geral é soma dos modos:
Passo 7
Por fim, impomos a condição inicial u(x,0)=f(x) e expandimos f em série de X_n, usando a ortogonalidade:
Resposta
A solução formal do PVIF com condições de contorno de Robin é
onde μ_n>0 são as raízes de
e