Resolva (formalmente) o PVIF
& ut=K ux x, em mathscrR, & ux(0, t)+k0 u(0, t)=ux(L, t)+k1 u(L, t)=0, t>0, & u(x, 0)=f(x), 0

Passo 1

Primeiro, resumindo o que temos: é a equação do calor em uma barra de comprimento L, com coeficiente de difusão K, sujeita a condições de contorno do tipo Robin em x=0 e x=L e dado o perfil inicial u(x,0)=f(x). Vamos usar separação de variáveis e teoria de Sturm–Liouville para obter a expansão em autovalores e autovetores.

Passo 2

Assumimos solução da forma u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em u_t=K u_{xx} e dividindo por XT, temos a igualdade de duas funções independentes: uma só de t e outra só de x. Logo introduzimos o parâmetro de separação –λ e obtemos as ODEs:
X''(x)+lambda X(x)=0,
T'(t)+K,lambda,T(t)=0

Passo 3

As condições de contorno em X são:
X'(0)+k0X(0)=0, X'(L)+k1X(L)=0

Passo 4

Para λ>0 escrevemos λ=μ^2 e a solução geral da ODE espacial é X(x)=A\cos(μx)+B\sin(μx). Aplicando em x=0 temos Bμ+k_{0}A=0 ⇒ B=−(k_{0}/μ)A. Em x=L impomos
X'(L)+k1X(L)=0,
o que leva à condição de quantização dos μ:
(μ^2+k0k1)sin(μL)+μ(k0-k1)cos(μL)=0

Passo 5

As raízes positivas μ_n dessa equação são os autovalores espaciais. Para cada μ_n, escolhemos a autofunção não normalizada
Xn(x)=cos(μn x)-k0μnsin(μn x)

Passo 6

A equação temporal dá T_{n}(t)=e{-Kμ_n2 t}. A solução geral é soma dos modos:
u(x,t)=sumn=1^inftyAn,e^-Kμn^2 t,Xn(x)

Passo 7

Por fim, impomos a condição inicial u(x,0)=f(x) e expandimos f em série de X_n, usando a ortogonalidade:
An=integral0^Lf(x)Xn(x),dxintegral0^L[Xn(x)]^2,dx

Resposta

A solução formal do PVIF com condições de contorno de Robin é
u(x,t)=sumn=1^infty(integral0^Lf(s)Xn(s),dsintegral0^L[Xn(s)]^2,ds)e^-K,μn^2,t,Xn(x),
onde μ_n>0 são as raízes de
(μ^2+k0k1)sin(μL)+μ(k0-k1)cos(μL)=0,
e
Xn(x)=cos(μn x)-k0μnsin(μn x)

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