Calcule a integral usando substituição ou integração por partes.
integral0^4(x^2+1) e^-x d x

Passo 1

A questão pede pra gente calcular a integral
integral0^4(x^2+1)e^-x,dx
Isso é conteúdo de integração por partes (e também usamos a propriedade de soma de integrais). Vamos precisar usar o teorema de integração por partes, que diz que integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em duas partes menores:
integral0^4(x^2+1)e^-x,dx = integral0^4x^2e^-x,dx + integral0^4e^-x,dx

Passo 3

Agora vamos achar integral x^2e^-x,dx usando integração por partes duas vezes. Definimos:
u = x^2, dv = e^-x,dx Rightarrow du = 2x,dx, v = -e^-x
Então
integral x^2e^-x,dx = -x^2e^-x - integral(-e^-x)cdot 2x,dx = -x^2e^-x + 2integral x e^-x,dx
Para integral x e^-x,dx, repetimos:
u = x, dv = e^-x,dx Rightarrow du = dx, v = -e^-x,
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integral x e^-x,dx = -x e^-x - integral(-e^-x),dx = -x e^-x - e^-x = -(x+1)e^-x
Substituindo de volta,
integral x^2e^-x,dx = -x^2e^-x + 2l[-(x+1)e^-xr] = -(x^2+2x+2)e^-x + C

Passo 4

Agora avaliamos o termo de x^2e^-x de 0 a 4:
integral0^4x^2e^-x,dx = l[-(x^2+2x+2)e^-xr]0^4 = l[-(16+8+2)e^-4r] - l[-(0+0+2)e^0r] = -26e^-4 - (-2) = 2 - 26e^-4

Passo 5

Em seguida, calculamos a parte restante:
integral0^4e^-x,dx = l[-e^-xr]0^4 = -(e^-4-1) = 1 - e^-4

Passo 6

Somando as duas parcelas:
integral0^4(x^2+1)e^-x,dx = (2 - 26e^-4) + (1 - e^-4) = 3 - 27e^-4

Resposta

3 - 27 e^{-4}

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