Transforme o problema
& ut=K ux x, em mathscrR, & u(0, t)=A e^-alpha t, u(L, t)=B, para t>0, & u(x, 0)=0, para 0
num outro em que as condições de fronteira sejam homogêneas.

Passo 1

O problema original é a equação do calor ut = K uxx em 0 com condições de fronteira não-homogêneas u(0,t)=A e^-alpha t,;u(L,t)=B e condição inicial u(x,0)=0. Queremos trocar para uma variável v(x,t) cuja fronteira seja homogênea.

Passo 2

Introduzimos a decomposição u(x,t)=v(x,t)+w(x,t), onde escolhemos w(x,t) de forma que ela já satisfaça as fronteiras não-homogêneas e seja simples de manipular.

Passo 3

Para zerar as fronteiras definimos w(x,t) linear em x:
w(x,t)=A e^-alpha tl(1-xLr)+B,xL,
Verifique que w(0,t)=A e^-alpha t e w(L,t)=B.

Passo 4

Como ut=vt+wt e uxx=vxx+wxx, e wxx=0, a equação em v fica:
vt = K vxx - wt
Como wt=-alpha A e^-alpha t(1-tfracxL), o termo fonte é
- wt=alpha A e^-alpha tl(1-xLr)

Passo 5

As fronteiras passam a ser homogêneas:
v(0,t)=u(0,t)-w(0,t)=0, v(L,t)=u(L,t)-w(L,t)=0

Passo 6

A condição inicial em v é
v(x,0)=u(x,0)-w(x,0)=-l[Al(1-xLr)+BxLr]

Resposta

O problema transformado para v(x,t) é:
vt = K vxx + alpha A e^-alpha tl(1 - xLr),
para 00, com fronteiras homogêneas
v(0,t)=0, v(L,t)=0,
e condição inicial
v(x,0)=-l[Al(1-xLr)+BxLr]

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