Transforme o problema
num outro em que as condições de fronteira sejam homogêneas.
Passo 1
O problema original é a equação do calor
em
com condições de fronteira não-homogêneas
e condição inicial
. Queremos trocar para uma variável
cuja fronteira seja homogênea.
Passo 2
Introduzimos a decomposição
, onde escolhemos
de forma que ela já satisfaça as fronteiras não-homogêneas e seja simples de manipular.
Passo 3
Para zerar as fronteiras definimos
linear em
:
Verifique que
e
.
Passo 4
Como
e
, e
, a equação em
fica:
Como
, o termo fonte é
Passo 5
As fronteiras passam a ser homogêneas:
Passo 6
A condição inicial em
é
Resposta
O problema transformado para
é:
para
com fronteiras homogêneas
e condição inicial