Calcule a integral usando a substituição trigonométrica adequada.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular uma integral que envolve uma expressão quadrática no denominador, algo do tipo
. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente substituição trigonométrica. A gente vai precisar usar uma substituição trigonométrica adequada para simplificar a integral e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de expressão que temos no denominador:
. Isso se parece com a forma
, que é uma diferença de quadrados. Para integrais com essa estrutura, uma boa substituição trigonométrica é usar a função secante, porque
, o que nos ajuda a simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fazer a substituição trigonométrica:
Isso significa que:
Agora, vamos calcular
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na integral:
Sabemos que
, mas para facilitar a integração, vamos expressar tudo em termos de senos e cossenos:
Passo 6
Então, a integral fica:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 7
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembra que fizemos
, então:
E
. Da substituição
, temos:
Então:
Resposta
Substituindo de volta, a integral é: