Calcule a integral usando a substituição trigonométrica adequada.
integral d x[(a x)^2-b^2]^3 / 2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral que envolve uma expressão quadrática no denominador, algo do tipo integral dx[(a x)^2 - b^2]^3/2. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente substituição trigonométrica. A gente vai precisar usar uma substituição trigonométrica adequada para simplificar a integral e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de expressão que temos no denominador: [(a x)^2 - b^2]^3/2. Isso se parece com a forma u^2 - c^2, que é uma diferença de quadrados. Para integrais com essa estrutura, uma boa substituição trigonométrica é usar a função secante, porque sec^2 theta - 1 = tan^2 theta, o que nos ajuda a simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fazer a substituição trigonométrica:
a x = b sec theta
Isso significa que:
x = ba sec theta
Agora, vamos calcular dx. Derivando x em relação a theta:
dx = ba sec theta tan theta , dtheta

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original:
integral dx[(a x)^2 - b^2]^3/2 = integral ba sec theta tan theta , dtheta[b^2 sec^2 theta - b^2]^3/2
Simplificando o denominador:
b^2 (sec^2 theta - 1) = b^2 tan^2 theta
Então:
[b^2 tan^2 theta]^3/2 = b^3 |tan^3 theta| = b^3 tan^3 theta

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
integral ba sec theta tan theta , dthetab^3 tan^3 theta = ba b^3 integral sec theta tan thetatan^3 theta , dtheta = 1a b^2 integral sec thetatan^2 theta , dtheta
Sabemos que tan^2 theta = sec^2 theta - 1, mas para facilitar a integração, vamos expressar tudo em termos de senos e cossenos:
sec thetatan^2 theta = 1/cos thetasin^2 theta / cos^2 theta = cossin^2 theta

Passo 6

Então, a integral fica:
1a b^2 integral cos thetasin^2 theta , dtheta = 1a b^2 integral cot theta csc theta , dtheta
Sabemos que a integral de cot theta csc theta é -csc theta, então:
1a b^2 (-csc theta) + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original x. Lembra que fizemos a x = b sec theta, então:
sec theta = a xb implies theta = sec^-1 ( a xb )
E csc theta = 1sin theta. Da substituição a x = b sec theta, temos:
sin theta = ba x
Então:
csc theta = a xb

Resposta

Substituindo de volta, a integral é:
- 1a b^2 cdot a xb + C = - xb^3 + C

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