Calcule a integral usando a substituição trigonométrica adequada.
integral xraizx^2-7 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede pra calcular a integral
integral xraizx^2-7 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões que se parecem com identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz. Temos x = raiz7 sec theta . Isso se assemelha à expressão , que sugere o uso da substituição trigonométrica ou . Porém, uma substituição mais direta aqui é reconhecer que se encaixa na identidade , então vamos usar:

Passo 3

Agora, vamos expressar dx = raiz7 sec theta tan theta , dtheta em termos de . Derivando ambos os lados da substituição :

Passo 4

Substituímos integral raiz7 sec thetaraiz(raiz7 sec theta)^2 - 7 cdot raiz7 sec theta tan theta , dtheta e (raiz7 sec theta)^2 - 7 = 7 sec^2 theta - 7 = 7 (sec^2 theta - 1) = 7 tan^2 theta na integral original:
raiz7 tan^2 theta = raiz7 |tan theta|
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a raiz fica:
Como estamos trabalhando com substituições trigonométricas, assumimos que é positivo, então podemos simplificar para .

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral raiz7 sec thetaraiz7 tan theta cdot raiz7 sec theta tan theta , dtheta = integral raiz7 sec thetaraiz7 tan theta cdot raiz7 sec theta tan theta , dtheta
Os termos integral sec^2 theta , dtheta e se cancelam:

Passo 6

A integral de integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C é uma das integrais básicas que conhecemos:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original sec theta = xraiz7 Rightarrow theta = sec^-1 ( xraiz7 ) . Lembramos que fizemos a substituição tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raiz( xraiz7 )^2 - 1 = raizx^27 - 1 = raizx^2 - 7raiz7 , então:
tan theta = raizx^2 - 7raiz7
Também, da substituição , temos:
Então,

Resposta

Portanto, a integral é:
integral xraizx^2-7 , dx = tan theta + C = raizx^2 - 7raiz7 + C
Onde é a constante de integração.

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