Calcule a integral usando a substituição trigonométrica adequada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede pra calcular a integral
Aqui, estamos lidando com uma integração que envolve uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões que se parecem com identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz. Temos
. Isso se assemelha à expressão
, que sugere o uso da substituição trigonométrica
ou
. Porém, uma substituição mais direta aqui é reconhecer que
se encaixa na identidade
, então vamos usar:
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
. Derivando ambos os lados da substituição
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a raiz fica:
Como estamos trabalhando com substituições trigonométricas, assumimos que
é positivo, então podemos simplificar para
.
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Os termos
e
se cancelam:
Passo 6
A integral de
é uma das integrais básicas que conhecemos:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembramos que fizemos a substituição
, então:
Também, da substituição
, temos:
Então,
Resposta
Portanto, a integral é:
Onde
é a constante de integração.