O circulo
x^2+y^2=a^2
é girado em torno do eixo x para gerar uma esfera. Determine seu volume.
Solução Imaginamos a esfera cortada em finas fatias por planos perpendiculares ao eixo x (Figura 6.9). A área da seçāo transversal em um ponto típico x entre -a e a é
A(x)=pi y^2=pi(a^2-x^2)
Portanto, o volume é
V=integral-a^a A(x) d x=integral-a^a pi(a^2-x^2) d x=pi[a^2 x-x^33]-a^a=43 pi a^3

Passo 1

O exercício pede o volume de uma esfera obtida pela rotação do círculo x^2 + y^2 = a^2 em torno do eixo x. O conteúdo é o método dos discos (seções transversais), e vamos usar a fórmula
para volume por integração de áreas transversais.

Passo 2

Para cada posição x entre -a e a, a seção transversal é um círculo de raio y dado pela equação do círculo:
y^2 = a^2 - x^2
Logo, a área dessa seção é
A(x) = pi,y^2 = pi,(a^2 - x^2)

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume é a integral da área das seções ao longo de x:
V = integral-a^a A(x),dx = pi integral-a^a (a^2 - x^2),dx

Passo 4

Agora calculamos a integral:
integral (a^2 - x^2),dx = a^2 x - x^33
Avaliando de -a a a:
l[a^2 x - tfracx^33r]-a^a = l(a^3 - tfraca^33r) - l(-a^3 + tfraca^33r) = tfrac4a^33
Multiplicando por pi resulta no volume.

Passo 5

Assim, concluímos que o volume da esfera de raio a é dado por:

Resposta

43pi a^3

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