O circulo
é girado em torno do eixo
para gerar uma esfera. Determine seu volume.
Solução Imaginamos a esfera cortada em finas fatias por planos perpendiculares ao eixo
(Figura 6.9). A área da seçāo transversal em um ponto típico
entre
e
é
Portanto, o volume é
Solução Imaginamos a esfera cortada em finas fatias por planos perpendiculares ao eixo
Passo 1
O exercício pede o volume de uma esfera obtida pela rotação do círculo
em torno do eixo
. O conteúdo é o método dos discos (seções transversais), e vamos usar a fórmula
para volume por integração de áreas transversais.
para volume por integração de áreas transversais.
Passo 2
Para cada posição
entre
e
, a seção transversal é um círculo de raio
dado pela equação do círculo:
Logo, a área dessa seção é
Passo 3
Pelo método dos discos, o volume é a integral da área das seções ao longo de
:
Passo 4
Agora calculamos a integral:
Avaliando de
a
:
Multiplicando por
resulta no volume.
Passo 5
Assim, concluímos que o volume da esfera de raio
é dado por: