Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta
, da região definida por
e pelas retas
e
.
SOLUÇÃO Desenhamos figuras mostrando a região, um raio típico e o sólido gerado (Figura 6.10). O volume é
SOLUÇÃO Desenhamos figuras mostrando a região, um raio típico e o sólido gerado (Figura 6.10). O volume é
Passo 1
A gente tem uma região no plano entre a curva
, a reta
e a vertical
. Vamos girar isso em torno de
. O assunto é cálculo de volume por método dos discos (ou anéis), e vamos precisar identificar o raio do disco em função de
e os limites de integração.
Passo 2
Para usar o método dos discos, lembramos que o volume é dado por
Aqui
é a distância vertical entre a curva superior e o eixo de rotação.
Passo 3
O eixo de rotação é a reta
. A curva superior é
. Como não há buraco no meio (a região encosta em
), o raio do disco é
Precisamos dos limites em
: a curva e a reta se cruzam quando
, ou seja
, e a outra fronteira vertical é
.
Passo 4
Substituindo no integral dos discos, temos
Passo 5
Agora calculamos a primitiva de
. Lembrando que
e
, vem
Passo 6
Agora é só avaliar de 1 a 4 e multiplicar por
:
Calculemos cada termo em
e
:
Para :
,
, e
.
Para :
.
Para
Para
Passo 7
Subtraindo e multiplicando por
:
Passo 8
Pronto! Encontramos o volume do sólido gerado pela rotação.