Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta y=1, da região definida por y=raizx e pelas retas y=1 e x=4.
SOLUÇÃO Desenhamos figuras mostrando a região, um raio típico e o sólido gerado (Figura 6.10). O volume é
V & =integral1^4 pi[R(x)]^2 d x & =integral1^4 pi[raizx-1]^2 d x & =pi integral1^4[x-2 raizx+1] d x & =pi[x^22-2 cdot 23 x^3 / 2+x]1^4=7 pi6

Passo 1

A gente tem uma região no plano entre a curva y=raizx, a reta y=1 e a vertical x=4. Vamos girar isso em torno de y=1. O assunto é cálculo de volume por método dos discos (ou anéis), e vamos precisar identificar o raio do disco em função de x e os limites de integração.

Passo 2

Para usar o método dos discos, lembramos que o volume é dado por
V=integralxmin^xmaxpil[R(x)r]^2,dx
Aqui R(x) é a distância vertical entre a curva superior e o eixo de rotação.

Passo 3

O eixo de rotação é a reta y=1. A curva superior é y=raizx. Como não há buraco no meio (a região encosta em y=1), o raio do disco é
R(x)=raizx-1
Precisamos dos limites em x: a curva e a reta se cruzam quando raizx=1, ou seja x=1, e a outra fronteira vertical é x=4.

Passo 4

Substituindo no integral dos discos, temos
V=integral1^4pil(raizx-1r)^2,dx =piintegral1^4l(x-2raizx+1r),dx

Passo 5

Agora calculamos a primitiva de x-2raizx+1. Lembrando que raizx=x^1/2 e integral x^n dx=x^n+1/(n+1), vem
integrall(x-2x^1/2+1r)dx=x^22-2cdotx^3/23/2+x =x^22-43x^3/2+x

Passo 6

Agora é só avaliar de 1 a 4 e multiplicar por pi:
V=pil[x^22-43x^3/2+xr]1^4
Calculemos cada termo em x=4 e x=1:
Para x=4: tfrac4^22=8, tfrac43cdot4^3/2=tfrac43cdot8=tfrac323, e +4.
Para x=1: tfrac12-tfrac43+1=tfrac12-tfrac43+1=tfrac12-tfrac43+tfrac33=tfrac12-tfrac13=tfrac16.

Passo 7

Subtraindo e multiplicando por pi:
V=pil[(8-tfrac323+4)-tfrac16r] =pil[12-tfrac323-tfrac16r] =pil[tfrac726-tfrac646-tfrac16r] =picdottfrac76

Passo 8

Pronto! Encontramos o volume do sólido gerado pela rotação.

Resposta

7pi6

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