Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
usando substituição trigonométrica. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integração por substituição e trigonometria. Vamos precisar entender como usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição sugerida:
. Isso significa que
é o ângulo cujo seno é
. Vamos também precisar calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calculando
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando
, que é
:
Passo 5
As
no numerador e no denominador se cancelam:
Agora, precisamos integrar
.
Passo 6
Para integrar
, podemos reescrever como
. Sabemos que
, então:
Fazendo a substituição
, então
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltando para
, já que
:
Passo 9
Agora, precisamos expressar o resultado em termos de
. Lembrando que
, podemos usar a identidade
.
Passo 10
Substituindo
:
Passo 11
Agora, vamos esboçar o triângulo retângulo associado à substituição trigonométrica
:
- Hipotenusa: 1
- Cateto oposto:
- Cateto adjacente:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.