Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
integral x^3raiz1-x^2 d x x=sen theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x^3raiz1 - x^2 dx usando substituição trigonométrica. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integração por substituição e trigonometria. Vamos precisar entender como usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição sugerida: x = sin theta. Isso significa que theta é o ângulo cujo seno é x. Vamos também precisar calcular dx, que é a derivada de x em relação a theta.

Passo 3

Calculando dx:
dx = cos theta , dtheta
Isso porque a derivada de sin theta em relação a theta é cos theta.

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral (sin theta)^3raiz1 - (sin theta)^2 cdot cos theta , dtheta
Simplificando 1 - sin^2 theta, que é cos^2 theta:
integral sin^3 thetacos theta cdot cos theta , dtheta

Passo 5

As cos theta no numerador e no denominador se cancelam:
integral sin^3 theta , dtheta
Agora, precisamos integrar sin^3 theta.

Passo 6

Para integrar sin^3 theta, podemos reescrever como sin^2 theta cdot sin theta. Sabemos que sin^2 theta = 1 - cos^2 theta, então:
integral (1 - cos^2 theta) sin theta , dtheta
Fazendo a substituição u = cos theta, então du = -sin theta , dtheta.

Passo 7

Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) (-du) = integral (u^2 - 1) du
Integrando termo a termo:
u^33 - u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Voltando para theta, já que u = cos theta:
cos^3 theta3 - cos theta + C

Passo 9

Agora, precisamos expressar o resultado em termos de x. Lembrando que x = sin theta, podemos usar a identidade cos theta = raiz1 - x^2.

Passo 10

Substituindo cos theta:
( raiz1 - x^2 )^33 - raiz1 - x^2 + C = (1 - x^2)^3/23 - (1 - x^2)^1/2 + C

Passo 11

Agora, vamos esboçar o triângulo retângulo associado à substituição trigonométrica x = sin theta:
  • Hipotenusa: 1
  • Cateto oposto: x
  • Cateto adjacente: raiz1 - x^2

Resposta

A integral integral x^3raiz1 - x^2 dx é igual a:
(1 - x^2)^3/23 - (1 - x^2)^1/2 + C
onde C é a constante de integração.

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