Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,3) (x-1)^2(y-3)^2(x-1)^2+(y-3)^2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite em duas variáveis
lim(x,y)to(1,3) (x-1)^2(y-3)^2(x-1)^2+(y-3)^2.
O conteúdo principal é o conceito de limite em R^2, e vamos usar mudança de variáveis e coordenadas polares para resolver.

Passo 2

Para simplificar a expressão, definimos
u = x-1 e v = y-3.
Assim o limite vira
lim(u,v)to(0,0) u^2 v^2u^2+v^2

Passo 3

Introduzimos coordenadas polares
u = rcostheta, v = rsintheta,
onde r = raizu^2+v^2 e rto0^+ corresponde a (u,v)to(0,0).

Passo 4

Substituindo na expressão obtemos
u^2 v^2u^2+v^2 = (rcostheta)^2,(rsintheta)^2r^2 = r^2cos^2thetasin^2theta
Como |cos^2thetasin^2theta|<=1|, segue |r^2cos^2thetasin^2theta|<= r^2 e r^2to0 quando rto0.

Passo 5

Pelo teorema do confronto (squeeze), r^2cos^2thetasin^2thetato0 independe de theta.
Logo o limite existe e é 0.

Resposta

0

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