Determine uma substituição trigonométrica apropriada.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral, mais especificamente sobre substituição trigonométrica. A tarefa é encontrar uma substituição trigonométrica adequada para transformar a integral
em uma integral trigonométrica. Não precisamos resolver a integral, apenas deixá-la pronta para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
. Isso se parece com a fórmula
, que é uma situação clássica para usar substituição trigonométrica. A ideia é simplificar a expressão para algo envolvendo funções trigonométricas que são mais fáceis de integrar.
Passo 3
Para a forma
, a substituição trigonométrica adequada é:
No nosso caso,
, então
, e temos
porque o termo é
. Então, aplicando a substituição:
Passo 4
Agora, vamos calcular
em termos de
. Derivando ambos os lados da equação
:
Passo 5
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 6
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Passo 8
Simplificando os coeficientes:
Então, a integral fica:
Resposta
A substituição trigonométrica apropriada é
, e a integral transformada fica: