Determine uma substituição trigonométrica apropriada.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
integral x^3(9-4 x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral, mais especificamente sobre substituição trigonométrica. A tarefa é encontrar uma substituição trigonométrica adequada para transformar a integral
integral x^3(9-4 x^2)^3 / 2 , dx
em uma integral trigonométrica. Não precisamos resolver a integral, apenas deixá-la pronta para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: 9 - 4x^2. Isso se parece com a fórmula a^2 - u^2, que é uma situação clássica para usar substituição trigonométrica. A ideia é simplificar a expressão para algo envolvendo funções trigonométricas que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Para a forma a^2 - u^2, a substituição trigonométrica adequada é:
u = a sin theta
No nosso caso, a^2 = 9, então a = 3, e temos u = 2x porque o termo é 4x^2. Então, aplicando a substituição:
2x = 3 sin theta Rightarrow x = 32 sin theta

Passo 4

Agora, vamos calcular dx em termos de theta. Derivando ambos os lados da equação x = 32 sin theta:
dx = 32 cos theta , dtheta

Passo 5

Vamos substituir x e dx na integral original:
integral (32 sin theta)^3(9 - 4 (32 sin theta)^2)^3/2 cdot 32 cos theta , dtheta

Passo 6

Simplificando o denominador:
9 - 4 (94 sin^2 theta) = 9 - 9 sin^2 theta = 9 (1 - sin^2 theta) = 9 cos^2 theta
Então:
(9 cos^2 theta)^3/2 = 9^3/2 cos^3 theta = 27 cos^3 theta

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
integral (278 sin^3 theta)27 cos^3 theta cdot 32 cos theta , dtheta = integral 278 sin^3 theta27 cos^3 theta cdot 32 cos theta , dtheta

Passo 8

Simplificando os coeficientes:
278 div 27 = 18
18 cdot 32 = 316
Então, a integral fica:
316 integral sin^3 thetacos^2 theta , dtheta

Resposta

A substituição trigonométrica apropriada é x = 32 sin theta, e a integral transformada fica:
316 integral sin^3 thetacos^2 theta , dtheta

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