Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
integral raiz4 x^2-25x d x x=52 sec theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral raiz4 x^2-25x dx usando uma substituição trigonométrica. Isso está relacionado a integrais envolvendo expressões quadráticas sob a raiz. Vamos usar a substituição x = 52 sec theta, que vai ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz. Também vamos precisar desenhar um triângulo retângulo para visualizar melhor a substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x por 52 sec theta. Então, x = 52 sec theta. Agora, precisamos encontrar dx. Derivando ambos os lados em relação a theta, temos:
dx = 52 sec theta tan theta , dtheta

Passo 3

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral raiz4 (52 sec theta)^2 - 2552 sec theta cdot 52 sec theta tan theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
4 (254 sec^2 theta) - 25 = 25 sec^2 theta - 25 = 25 (sec^2 theta - 1) = 25 tan^2 theta
Então, a raiz fica:
raiz25 tan^2 theta = 5 tan theta

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
integral 5 tan theta52 sec theta cdot 52 sec theta tan theta , dtheta
Simplificando os termos:
integral 5 tan theta cdot tan theta , dtheta = integral 5 tan^2 theta , dtheta

Passo 5

Lembrando que tan^2 theta = sec^2 theta - 1, temos:
integral 5 (sec^2 theta - 1) , dtheta = 5 integral sec^2 theta , dtheta - 5 integral 1 , dtheta
Integrando:
5 tan theta - 5 theta + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = 52 sec theta, então sec theta = 2x5. Desenhando um triângulo retângulo onde a hipotenusa é 2x/5 e o lado adjacente é 1, o lado oposto será:
raiz(2x5)^2 - 1 = raiz4x^2 - 255
Portanto, tan theta = raiz4x^2 - 255 e theta = sec^-1(2x5).

Resposta

A integral é igual a 5 cdot raiz4x^2 - 255 - 5 cdot sec^-1(2x5) + C, ou seja:
raiz4x^2 - 25 - 5 sec^-1(2x5) + C

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