Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
usando uma substituição trigonométrica. Isso está relacionado a integrais envolvendo expressões quadráticas sob a raiz. Vamos usar a substituição
, que vai ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz. Também vamos precisar desenhar um triângulo retângulo para visualizar melhor a substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
. Então,
. Agora, precisamos encontrar
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a raiz fica:
Passo 4
Substituindo de volta na integral:
Simplificando os termos:
Passo 5
Lembrando que
, temos:
Integrando:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então
. Desenhando um triângulo retângulo onde a hipotenusa é
e o lado adjacente é 1, o lado oposto será:
Portanto,
e
.
Resposta
A integral é igual a
, ou seja: