Resolva as equações de Cauchy-Euler dadas a seguir para \boldsymbol{x}>\mathbf{0} :
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{(4)}+\mathbf{6 y}^{(3)}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, para x>0, a equação diferencial
x\,y^{(4)}(x)+6\,y^{(3)}(x)=0.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de ordem 4.
  • Os únicos termos presentes envolvem as derivadas de ordem 3 e 4 de y.
  • O domínio é x>0 (isso permite desprezar valor absoluto em logaritmos quando aparecerem).
    A tarefa é encontrar a solução geral y(x) válida para x>0.

Passo 2

Observação útil que facilita muito: a equação relaciona apenas y^{(4)} e y^{(3)}. Então é natural reduzir a ordem definindo uma nova função igual à derivada de ordem 3. Definimos
u(x)=y^{(3)}(x).
Como u é y^{(3)}, sua derivada é u'(x)=y^{(4)}(x). Substituindo na equação original obtemos uma equação de ordem menor para u.

Passo 3

Substituindo u e u' na equação temos
x\,u'(x)+6\,u(x)=0.
Reescrevendo na forma padrão,
u'(x)+\frac{6}{x}\,u(x)=0.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea. Existem duas maneiras simples de resolver: (i) separação de variáveis, ou (ii) fator integrante. Aqui uso separação porque é direto: escrevemos
\frac{u'(x)}{u(x)}=-\frac{6}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em x. Lembrando que \int \frac{u'}{u}\,dx=\ln|u| e \int -\frac{6}{x}\,dx=-6\ln|x|, obtemos
\ln|u(x)|=-6\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Como o domínio é x>0, podemos tirar o valor absoluto de x e também absorver sinal em uma constante. Exponenciando:
u(x)=C_1\,x^{-6},
em que C_1 é uma constante arbitrária real. Lembrando a definição de u, temos
y^{(3)}(x)=C_1\,x^{-6}.

Passo 5

Agora integramos sucessivamente para recuperar y. Primeiro, integramos para obter y''(x). Para isso usamos a regra de integração de potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+ \text{const}.
Aqui n=-6, então
y''(x)=\int y^{(3)}(x)\,dx=\int C_1 x^{-6}\,dx = C_1\cdot\frac{x^{-5}}{-5}+C_2 = -\frac{C_1}{5}\,x^{-5}+C_2,
onde C_2 é nova constante de integração.

Passo 6

Integramos agora y'' para obter y'(x). Integramos termo a termo:
y'(x)=\int \left(-\frac{C_1}{5}x^{-5}+C_2\right)dx = -\frac{C_1}{5}\cdot\frac{x^{-4}}{-4}+C_2 x + C_3.
Fazendo as contas dos coeficientes,
-\frac{C_1}{5}\cdot\frac{1}{-4}=\frac{C_1}{20},
portanto
y'(x)=\frac{C_1}{20}\,x^{-4}+C_2 x + C_3,
onde C_3 é mais uma constante de integração.

Passo 7

Finalmente integramos y'(x) para obter y(x). Novamente, integramo termo a termo usando a regra das potências:
y(x)=\int\left(\frac{C_1}{20}x^{-4}+C_2 x + C_3\right)dx = \frac{C_1}{20}\cdot\frac{x^{-3}}{-3} + C_2\cdot\frac{x^2}{2} + C_3 x + C_4.
Calculando o primeiro coeficiente,
\frac{C_1}{20}\cdot\frac{1}{-3}=-\frac{C_1}{60}.
Assim obtemos a solução geral (com quatro constantes de integração C_1,C_2,C_3,C_4):
y(x)=-\frac{C_1}{60}\,x^{-3}+\frac{C_2}{2}\,x^2 + C_3 x + C_4.
Como C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias, podemos renomeá-las se quisermos (por exemplo A,B,C,D).

Resposta

y(x)=-\dfrac{C_{1}}{60}\,x^{-3}+\dfrac{C_{2}}{2}\,x^{2}+C_{3}x+C_{4}

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