Resolva as equações de Cauchy-Euler dadas a seguir para
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, para
, a equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de ordem
. - Os únicos termos presentes envolvem as derivadas de ordem
e de . - O domínio é
(isso permite desprezar valor absoluto em logaritmos quando aparecerem).
A tarefa é encontrar a solução geralválida para .
Passo 2
Observação útil que facilita muito: a equação relaciona apenas
e
. Então é natural reduzir a ordem definindo uma nova função igual à derivada de ordem
. Definimos
Como
é
, sua derivada é
. Substituindo na equação original obtemos uma equação de ordem menor para
.
Passo 3
Substituindo
e
na equação temos
Reescrevendo na forma padrão,
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea. Existem duas maneiras simples de resolver: (i) separação de variáveis, ou (ii) fator integrante. Aqui uso separação porque é direto: escrevemos
Passo 4
Integramos ambos os lados em
. Lembrando que
e
, obtemos
onde
é constante de integração. Como o domínio é
, podemos tirar o valor absoluto de
e também absorver sinal em uma constante. Exponenciando:
em que
é uma constante arbitrária real. Lembrando a definição de
, temos
Passo 5
Agora integramos sucessivamente para recuperar
. Primeiro, integramos para obter
. Para isso usamos a regra de integração de potências: para
,
Aqui
, então
onde
é nova constante de integração.
Passo 6
Integramos agora
para obter
. Integramos termo a termo:
Fazendo as contas dos coeficientes,
portanto
onde
é mais uma constante de integração.
Passo 7
Finalmente integramos
para obter
. Novamente, integramo termo a termo usando a regra das potências:
Calculando o primeiro coeficiente,
Assim obtemos a solução geral (com quatro constantes de integração
):
Como
são constantes arbitrárias, podemos renomeá-las se quisermos (por exemplo
).