Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
\int \frac{\sqrt{4 x^{2}-25}}{x} d x ; \quad x=\frac{5}{2} \operatorname{sec} \theta

Passo 1

Enunciado: calcular a integral
\int \frac{\sqrt{4 x^{2}-25}}{x}\,dx
usando a substituição indicada
x=\frac{5}{2}\operatorname{sec}\theta.
O enunciado também pede que eu esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado à substituição. Informações dadas: a integral a ser avaliada e a substituição x=\dfrac{5}{2}\operatorname{sec}\theta. Não há outras restrições explícitas, mas a raiz exige 4x^2-25\ge0, isto é |x|\ge\dfrac{5}{2}.

Passo 2

Esboço e legendas do triângulo retângulo associado.
Para a substituição x=\dfrac{5}{2}\operatorname{sec}\theta interpretamos \operatorname{sec}\theta=\dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{adjacente}}. Assim escolhemos um triângulo retângulo com:
  • hipotenusa = \displaystyle x,
  • cateto adjacente ao ângulo \theta = \displaystyle \frac{5}{2},
  • cateto oposto ao ângulo \theta dado por
\sqrt{x^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{4x^{2}-25}.
Resumo do triângulo (legendas):
  • hipotenusa: \displaystyle x
  • cateto adjacente (ao ângulo \theta): \displaystyle \frac{5}{2}
  • cateto oposto: \displaystyle \sqrt{x^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4x^{2}-25}
Observação sobre domínio: para evitar problemas de sinal com a raiz, escolhemos a rama em que x\ge\frac{5}{2} (corresponde a \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2})), assim \tan\theta\ge0 e as igualdades abaixo ficam sem valor absoluto.

Passo 3

Calcular \,dx a partir da substituição.
Temos
x=\frac{5}{2}\operatorname{sec}\theta.
Derivando em relação a \theta, lembrando que \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta=\operatorname{sec}\theta\tan\theta, obtemos
dx=\frac{5}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 4

Expressar a raiz \sqrt{4x^{2}-25} em termos de \theta.
Substituindo x=\dfrac{5}{2}\operatorname{sec}\theta em 4x^{2}-25:
4x^{2}-25=4\left(\frac{5}{2}\operatorname{sec}\theta\right)^{2}-25 =4\cdot\frac{25}{4}\operatorname{sec}^{2}\theta-25 =25(\operatorname{sec}^{2}\theta-1).
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta, obtemos
4x^{2}-25=25\tan^{2}\theta,
logo, tomando a raiz (e lembrando que \tan\theta\ge0 na escolha de domínio),
\sqrt{4x^{2}-25}=5\tan\theta.

Passo 5

Substituir tudo na integral e simplificar.
A integral original é
\int \frac{\sqrt{4x^{2}-25}}{x}\,dx.
Substituindo \sqrt{4x^{2}-25}=5\tan\theta, x=\dfrac{5}{2}\operatorname{sec}\theta e dx=\dfrac{5}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, obtemos
\int \frac{5\tan\theta}{\dfrac{5}{2}\operatorname{sec}\theta}\cdot\frac{5}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
O fator \dfrac{5}{2}\operatorname{sec}\theta do denominador cancela com o mesmo fator em dx, sobrando
\int 5\tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 6

Integrar 5\tan^{2}\theta.
Usamos a identidade \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1. Assim
5\int \tan^{2}\theta\,d\theta =5\int (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta =5\left(\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta - \int 1\,d\theta\right).
Sabendo que \dfrac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, temos \int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta=\tan\theta. Portanto
5\left(\tan\theta-\theta\right)+C.

Passo 7

Voltar para a variável x.
Precisamos escrever \tan\theta e \theta em função de x.
Do triângulo ou da substituição \operatorname{sec}\theta=\dfrac{2x}{5} temos
\tan\theta=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1} =\sqrt{\left(\frac{2x}{5}\right)^{2}-1} =\frac{1}{5}\sqrt{4x^{2}-25}.
Como \tan\theta=\dfrac{1}{5}\sqrt{4x^{2}-25}, temos \theta=\arctan\!\left(\dfrac{1}{5}\sqrt{4x^{2}-25}\right) (novamente coerente com a escolha de domínio onde \tan\theta\ge0).
Substituindo em 5(\tan\theta-\theta)+C:
5\left(\frac{1}{5}\sqrt{4x^{2}-25} -\arctan\!\left(\frac{1}{5}\sqrt{4x^{2}-25}\right)\right)+C.
Simplificando,
\sqrt{4x^{2}-25}-5\arctan\!\left(\frac{\sqrt{4x^{2}-25}}{5}\right)+C.

Passo 8

Verificação rápida do domínio e observação final.
A expressão encontrada está definida para |x|\ge\dfrac{5}{2}. No desenvolvimento escolhemos a rama com x\ge\dfrac{5}{2} para evitar sinais negativos em \tan\theta; se trabalharmos com x\le -\dfrac{5}{2} haveria que tomar cuidado com sinais (apareceria valor absoluto em \tan\theta ou ajustar a função arco apropriada). Fora isso, a antiderivada está correta e pode ser diferenciada para checar o resultado.

Resposta

\displaystyle \sqrt{4x^{2}-25}-5\arctan\!\left(\frac{\sqrt{4x^{2}-25}}{5}\right)+C

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