Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
Passo 1
Enunciado: calcular a integral
usando a substituição indicada
O enunciado também pede que eu esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado à substituição. Informações dadas: a integral a ser avaliada e a substituição
. Não há outras restrições explícitas, mas a raiz exige
, isto é
.
Passo 2
Esboço e legendas do triângulo retângulo associado.
Para a substituição
interpretamos
. Assim escolhemos um triângulo retângulo com:
- hipotenusa =
, - cateto adjacente ao ângulo
= , - cateto oposto ao ângulo
dado por
Resumo do triângulo (legendas):
- hipotenusa:
- cateto adjacente (ao ângulo
): - cateto oposto:
Observação sobre domínio: para evitar problemas de sinal com a raiz, escolhemos a rama em que
(corresponde a
), assim
e as igualdades abaixo ficam sem valor absoluto.
Passo 3
Calcular
a partir da substituição.
Temos
Derivando em relação a
, lembrando que
, obtemos
Passo 4
Expressar a raiz
em termos de
.
Substituindo
em
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
logo, tomando a raiz (e lembrando que
na escolha de domínio),
Passo 5
Substituir tudo na integral e simplificar.
A integral original é
Substituindo
,
e
, obtemos
O fator
do denominador cancela com o mesmo fator em
, sobrando
Passo 6
Integrar
.
Usamos a identidade
. Assim
Sabendo que
, temos
. Portanto
Passo 7
Voltar para a variável
.
Precisamos escrever
e
em função de
.
Do triângulo ou da substituição
temos
Como
, temos
(novamente coerente com a escolha de domínio onde
).
Substituindo em
:
Simplificando,
Passo 8
Verificação rápida do domínio e observação final.
A expressão encontrada está definida para
. No desenvolvimento escolhemos a rama com
para evitar sinais negativos em
; se trabalharmos com
haveria que tomar cuidado com sinais (apareceria valor absoluto em
ou ajustar a função arco apropriada). Fora isso, a antiderivada está correta e pode ser diferenciada para checar o resultado.