Encontre:
\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2}+4}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{x^{2}+4}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}.
  • O termo dentro da raiz é x^{2}+4, que é sempre positivo para todo x real (então a raiz é bem definida).
  • Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) — ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}.
  • Devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Observação didática sobre técnica: uma boa estratégia é procurar uma mudança de variável (substituição) que simplifique a expressão. Aqui vemos dentro da raiz a expressão x^{2}+4 e, fora da raiz, aparece x\,dx. Isso sugere tentar a substituição
u = x^{2}+4.
Explico por que: quando derivamos u em relação a x obtemos um fator proporcional a x, que aparece no numerador, então os diferenciais vão se combinar bem.

Passo 3

Calcule o diferencial de u. Derivando u = x^{2}+4 obtemos
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx temos
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Agora substituímos na integral original: como \sqrt{x^{2}+4}=\sqrt{u}=u^{1/2}, a integral vira
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = \int \frac{\tfrac{1}{2}\,du}{u^{1/2}}.
Simplificando,
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Integração usando a regra da potência: para n\neq -1 vale
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra,
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1}+C = \frac{u^{1/2}}{1/2}+C = 2u^{1/2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora,
\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\bigl(2u^{1/2}\bigr)+C = u^{1/2}+C.

Passo 5

Volta à variável x: como u=x^{2}+4, temos u^{1/2}=\sqrt{x^{2}+4}. Portanto a primitiva é
\sqrt{x^{2}+4}+C.
Para ganhar confiança, cheque rápido diferenciando: usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x^{2}+4}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+4}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}},
que é exatamente o integrando. Perfeito!

Passo 6

Comentário breve (opcional): outra abordagem possível seria usar substituição trigonométrica ou hiperbólica (por exemplo x=2\tan t ou x=2\operatorname{sinh} t), mas a substituição u=x^{2}+4 é a mais direta e a que dá menos conta de trabalho aqui — por isso a usamos.

Resposta

\sqrt{x^{2}+4}+C

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