Encontre:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - O termo dentro da raiz é
, que é sempre positivo para todo real (então a raiz é bem definida). - Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) — ou seja, uma função
tal que . - Devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Observação didática sobre técnica: uma boa estratégia é procurar uma mudança de variável (substituição) que simplifique a expressão. Aqui vemos dentro da raiz a expressão
e, fora da raiz, aparece
. Isso sugere tentar a substituição
Explico por que: quando derivamos
em relação a
obtemos um fator proporcional a
, que aparece no numerador, então os diferenciais vão se combinar bem.
Passo 3
Calcule o diferencial de
. Derivando
obtemos
Isolando
temos
Agora substituímos na integral original: como
, a integral vira
Simplificando,
Passo 4
Integração usando a regra da potência: para
vale
Aqui
. Aplicando a regra,
Multiplicando pelo fator
que estava fora,
Passo 5
Volta à variável
: como
, temos
. Portanto a primitiva é
Para ganhar confiança, cheque rápido diferenciando: usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Perfeito!
Passo 6
Comentário breve (opcional): outra abordagem possível seria usar substituição trigonométrica ou hiperbólica (por exemplo
ou
), mas a substituição
é a mais direta e a que dá menos conta de trabalho aqui — por isso a usamos.