Sejam
soluções da EDO
. Vimos em sala de aula que o Wronskiano é dado pela fórmlua
para alguma constante
, conhecida como fórmula de Abel. Não devemos concluir que o Wronskiano é independente do par de soluções. A constante
varia de acordo com as soluções consideradas. Para cada par de soluções temos uma constante particular. Por exemplo, use a fórmula de Abel para obter uma expressão para o Wronskiano de um par de soluções da equação
no intervalo
que satisfazem às condições
. (Resp.
.
Passo 1
O enunciado pede o Wronskiano de duas soluções da EDO
x²y’’ + x y’ + (x²+1)y = 0
no intervalo (0,+∞), usando a fórmula de Abel
W(x) = C e^{-∫p(x)dx}. Vamos dividir a EDO para identificarmos p(x) e depois usar as condições em x=1 para achar C.
x²y’’ + x y’ + (x²+1)y = 0
no intervalo (0,+∞), usando a fórmula de Abel
W(x) = C e^{-∫p(x)dx}. Vamos dividir a EDO para identificarmos p(x) e depois usar as condições em x=1 para achar C.
Passo 2
Dividindo a equação por x², obtemos a forma padrão
Aqui o coeficiente de y’ é
pela definição de forma padrão y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0.
Passo 3
Pela fórmula de Abel, o Wronskiano satisfaz
Passo 4
Para determinar a constante C, avaliamos W em x=1 usando
Pelas condições dadas temos W(1) = 0·1 - 1·1 = -1. Logo C = -1.
Passo 5
Substituindo C em W(x) temos finalmente
Resposta
Wy_{1},y_{2}=,-\dfrac{1}{x}