Sejam y1, y2 soluções da EDO y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0. Vimos em sala de aula que o Wronskiano é dado pela fórmlua
W[y1, y2](x)=C e^-integral p(x) d x
para alguma constante C, conhecida como fórmula de Abel. Não devemos concluir que o Wronskiano é independente do par de soluções. A constante C varia de acordo com as soluções consideradas. Para cada par de soluções temos uma constante particular. Por exemplo, use a fórmula de Abel para obter uma expressão para o Wronskiano de um par de soluções da equação
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2+1) y=0
no intervalo (0,+infty) que satisfazem às condições y1(1)=0, y1^prime(1)=1, y2(1)=y2^prime(1)=1. (Resp. W[y1, y2](x)=-1x).

Passo 1

O enunciado pede o Wronskiano de duas soluções da EDO
x²y’’ + x y’ + (x²+1)y = 0
no intervalo (0,+∞), usando a fórmula de Abel
W(x) = C e^{-∫p(x)dx}. Vamos dividir a EDO para identificarmos p(x) e depois usar as condições em x=1 para achar C.

Passo 2

Dividindo a equação por x², obtemos a forma padrão
y'' + 1xy' + x^2+1x^2y = 0
Aqui o coeficiente de y’ é
p(x) = 1x
pela definição de forma padrão y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0.

Passo 3

Pela fórmula de Abel, o Wronskiano satisfaz
W(x) = C ,e^-integral p(x),dx = C ,e^-integral 1xdx = C ,e^-ln x = Cx

Passo 4

Para determinar a constante C, avaliamos W em x=1 usando
W(1) = y1(1)y2'(1) - y1'(1)y2(1)
Pelas condições dadas temos W(1) = 0·1 - 1·1 = -1. Logo C = -1.

Passo 5

Substituindo C em W(x) temos finalmente
W(x) = -1x

Resposta

Wy_{1},y_{2}=,-\dfrac{1}{x}

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