Suponha f(x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F(x), tal que y=F(x) satisfaça a equação \frac{d y}{d x}=f(x). As soluções desta equação são as antiderivadas de f(x). A equação \frac{d y}{d x}=f(x) é chamada de equação diferencial. Resolva a equação diferencial abaixo.
\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}, \quad y(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{\sqrt{x}},
com condição inicial y(1)=2. Isso é um problema de encontrar antiderivada: basta integrar a função f(x)=(x+1)/\sqrt{x} e ajustar a constante para atender a y(1)=2.

Passo 2

Escrevemos a solução geral como antiderivada mais constante:
y(x) = \int \frac{x+1}{\sqrt{x}}\,dx + C.

Passo 3

Primeiro simplificamos a integranda:
\frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{1/2} + x^{-1/2}.
Agora integramos termo a termo:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}, \qquad \int x^{-1/2}\,dx = 2x^{1/2}.
Logo
\int \frac{x+1}{\sqrt{x}}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C.
Então
y(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C.

Passo 4

Usamos y(1)=2:
2 = y(1) = \frac{2}{3}\cdot1^{3/2} + 2\cdot1^{1/2} + C = \frac{2}{3} + 2 + C = \frac{8}{3} + C,
portanto
C = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}.

Resposta

y(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} - \frac{2}{3}.

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