Calcule a integral (use identidades trigonométricas ou substituições trigonométricas).
Passo 1
O problema pede para calcular a integral
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - É pedida uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, encontrar uma função
tal que . - Não há valores numéricos ou condições adicionais; deve-se apresentar a primitiva com constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre estrutura da integranda (sem ainda resolver): a parte
tem um argumento composto
. Observe também que há um fator multiplicativo
fora do expoente. Em cálculos com funções compostas costuma ser útil verificar se a diferencial do argumento aparece multiplicando — isso sugere a técnica de substituição (u-substituição). Vou aplicar essa ideia no passo seguinte.
Passo 3
Primeira substituição (transformar a integral para uma forma mais simples).
Escolho a substituição
Explico o porquê e a regra usada:
- Quando fazemos
, a diferencial é dada pela derivada de vezes . Pela regra da diferenciação,
- Isso é ótimo porque o fator
aparece exatamente na integral original. Assim a integral em vira uma integral em sem complicações.
Fazendo a substituição na integral:
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral
Vou usar uma identidade/algebra para reduzir a potência ímpar de cosseno a uma forma que permite outra substituição simples. A ideia padrão para potências ímpares de
ou
é separar um fator
(ou
) e reescrever o restante usando
(ou
).
Escrevo
Explico a identidade usada:
- A relação fundamental é
, que vem do teorema de Pitágoras para seno e cosseno. - Substituí
por e elevei ao quadrado para obter .
Portanto a integral fica
Passo 5
Segunda substituição (agora dentro da integral em
).
Note que aparece
multiplicando uma função de
. Então faço a substituição
Essa escolha é natural: o fator
é exatamente a diferencial
, e o restante
se torna
.
Assim
Passo 6
Integrar o polinômio resultante.
Expando o quadrado:
Portanto
Agora integro termo a termo (regra básica das integrais:
para
):
Somando:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Retorno às variáveis originais (desfazendo substituições), passo a passo.
Primeiro, lembro que fiz
. Substituo
por
:
Depois, lembro que
. Substituo
por
:
Essa é uma primitiva da integranda original.
Passo 8
Verificação rápida (confirmação usando regra da cadeia).
Quero checar que a derivada de
é
.
Derivando termo a termo e aplicando a regra da cadeia (derivada de
é
):
Somando os três termos:
E como
, obtemos
que é exatamente a integranda inicial. A verificação confirma a correta primitiva.