Calcule a integral (use identidades trigonométricas ou substituições trigonométricas).
\int \cos \theta \cos ^{5}(\sin \theta) d \theta

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
\int \cos\theta\;\cos^{5}\bigl(\sin\theta\bigr)\,d\theta.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é \cos\theta\cdot\cos^{5}\bigl(\sin\theta\bigr).
  • É pedida uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, encontrar uma função F(\theta) tal que F'(\theta)=\cos\theta\;\cos^{5}\bigl(\sin\theta\bigr).
  • Não há valores numéricos ou condições adicionais; deve-se apresentar a primitiva com constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre estrutura da integranda (sem ainda resolver): a parte \cos^{5}\bigl(\sin\theta\bigr) tem um argumento composto \sin\theta. Observe também que há um fator multiplicativo \cos\theta fora do expoente. Em cálculos com funções compostas costuma ser útil verificar se a diferencial do argumento aparece multiplicando — isso sugere a técnica de substituição (u-substituição). Vou aplicar essa ideia no passo seguinte.

Passo 3

Primeira substituição (transformar a integral para uma forma mais simples).
Escolho a substituição
u=\sin\theta.
Explico o porquê e a regra usada:
  • Quando fazemos u=\sin\theta, a diferencial du é dada pela derivada de \sin\theta vezes d\theta. Pela regra da diferenciação,
du=\cos\theta\,d\theta.
  • Isso é ótimo porque o fator \cos\theta\,d\theta aparece exatamente na integral original. Assim a integral em \theta vira uma integral em u sem complicações.
Fazendo a substituição na integral:
\int \cos\theta\;\cos^{5}\bigl(\sin\theta\bigr)\,d\theta = \int \cos^{5}(u)\,du.

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral
\int \cos^{5}(u)\,du.
Vou usar uma identidade/algebra para reduzir a potência ímpar de cosseno a uma forma que permite outra substituição simples. A ideia padrão para potências ímpares de \cos ou \sin é separar um fator \cos u (ou \sin u) e reescrever o restante usando 1-\sin^{2}u (ou 1-\cos^{2}u).
Escrevo
\cos^{5}(u)=\cos u\cdot\cos^{4}(u)=\cos u\bigl(\cos^{2}u\bigr)^{2} =\cos u\bigl(1-\sin^{2}u\bigr)^{2}.
Explico a identidade usada:
  • A relação fundamental é \cos^{2}u=1-\sin^{2}u, que vem do teorema de Pitágoras para seno e cosseno.
  • Substituí \cos^{2}u por 1-\sin^{2}u e elevei ao quadrado para obter \cos^{4}u.
Portanto a integral fica
\int \cos^{5}(u)\,du = \int \cos u\bigl(1-\sin^{2}u\bigr)^{2}\,du.

Passo 5

Segunda substituição (agora dentro da integral em u).
Note que aparece \cos u\,du multiplicando uma função de \sin u. Então faço a substituição
t=\sin u, \qquad dt=\cos u\,du.
Essa escolha é natural: o fator \cos u\,du é exatamente a diferencial dt, e o restante (1-\sin^{2}u)^{2} se torna (1-t^{2})^{2}.
Assim
\int \cos u\bigl(1-\sin^{2}u\bigr)^{2}\,du = \int (1-t^{2})^{2}\,dt.

Passo 6

Integrar o polinômio resultante.
Expando o quadrado:
(1-t^{2})^{2}=1-2t^{2}+t^{4}.
Portanto
\int (1-t^{2})^{2}\,dt = \int \bigl(1-2t^{2}+t^{4}\bigr)\,dt.
Agora integro termo a termo (regra básica das integrais: \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1):
\int 1\,dt=t, \qquad \int -2t^{2}\,dt=-2\cdot\frac{t^{3}}{3}=-\frac{2}{3}t^{3}, \qquad \int t^{4}\,dt=\frac{t^{5}}{5}.
Somando:
\int \bigl(1-2t^{2}+t^{4}\bigr)\,dt = t-\frac{2}{3}t^{3}+\frac{1}{5}t^{5}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Retorno às variáveis originais (desfazendo substituições), passo a passo.
Primeiro, lembro que fiz t=\sin u. Substituo t por \sin u:
t-\frac{2}{3}t^{3}+\frac{1}{5}t^{5}+C = \sin u-\frac{2}{3}\sin^{3}u+\frac{1}{5}\sin^{5}u+C.
Depois, lembro que u=\sin\theta. Substituo u por \sin\theta:
\sin u-\frac{2}{3}\sin^{3}u+\frac{1}{5}\sin^{5}u+C = \sin\bigl(\sin\theta\bigr) -\frac{2}{3}\sin^{3}\bigl(\sin\theta\bigr) +\frac{1}{5}\sin^{5}\bigl(\sin\theta\bigr)+C.
Essa é uma primitiva da integranda original.

Passo 8

Verificação rápida (confirmação usando regra da cadeia).
Quero checar que a derivada de
F(\theta)=\sin\bigl(\sin\theta\bigr) -\frac{2}{3}\sin^{3}\bigl(\sin\theta\bigr) +\frac{1}{5}\sin^{5}\bigl(\sin\theta\bigr)
é \cos\theta\;\cos^{5}\bigl(\sin\theta\bigr).
Derivando termo a termo e aplicando a regra da cadeia (derivada de \sin(g(\theta)) é \cos(g(\theta))\,g'(\theta)):
  • \dfrac{d}{d\theta}\sin(\sin\theta)=\cos(\sin\theta)\cdot\cos\theta.
  • \dfrac{d}{d\theta}\!\left(-\dfrac{2}{3}\sin^{3}(\sin\theta)\right) = -\dfrac{2}{3}\cdot 3\sin^{2}(\sin\theta)\cdot\cos(\sin\theta)\cdot\cos\theta = -2\sin^{2}(\sin\theta)\cos(\sin\theta)\cos\theta.
  • \dfrac{d}{d\theta}\!\left(\dfrac{1}{5}\sin^{5}(\sin\theta)\right) = \dfrac{1}{5}\cdot 5\sin^{4}(\sin\theta)\cdot\cos(\sin\theta)\cdot\cos\theta = \sin^{4}(\sin\theta)\cos(\sin\theta)\cos\theta.
Somando os três termos:
\cos(\sin\theta)\cos\theta\bigl(1-2\sin^{2}(\sin\theta)+\sin^{4}(\sin\theta)\bigr) =\cos(\sin\theta)\cos\theta\bigl(1-\sin^{2}(\sin\theta)\bigr)^{2}.
E como 1-\sin^{2}(\sin\theta)=\cos^{2}(\sin\theta), obtemos
\cos(\sin\theta)\cos\theta\cdot\cos^{4}(\sin\theta) =\cos\theta\;\cos^{5}(\sin\theta),
que é exatamente a integranda inicial. A verificação confirma a correta primitiva.

Resposta

\sin\bigl(\sin\theta\bigr)-\dfrac{2}{3}\sin^{3}\bigl(\sin\theta\bigr)+\dfrac{1}{5}\sin^{5}\bigl(\sin\theta\bigr)+C

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