Calcule a integral (use identidades trigonométricas ou substituições trigonométricas).
\int \frac{x^{2}}{\left(3+4 x-4 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\left(3+4 x-4 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{x^{2}}{(3+4x-4x^{2})^{3/2}}.
  • Quer-se uma primitiva (antiderivada) em termos elementares (usar identidades trigonométricas ou substituições trigonométricas está permitido).

Passo 2

Primeiro objetivo: simplificar a expressão quadrática no denominador para ver uma forma adequada para substituição trigonométrica. Vou completar o quadrado em 3+4x-4x^{2}. Faço fator comum 4 e completo o quadrado:
3+4x-4x^{2}=4\Bigl(1-(x-\tfrac{1}{2})^{2}\Bigr).
Explicando rapidinho como foi obtido: escrevi 3+4x-4x^{2}=-4\bigl(x^{2}-x-\tfrac{3}{4}\bigr) e usei \,x^{2}-x=(x-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}\, para chegar à forma acima. Essa forma é ótima porque lembra 1-u^{2}, o que sugere a substituição trigonométrica u=\sin\theta ou simplesmente usar u=x-\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Faço a substituição simples de translação para centralizar o quadrado:
u = x-\tfrac{1}{2},\qquad x=u+\tfrac{1}{2},\qquad dx=du.
Reescrevendo x^{2} em u:
x^{2}=(u+\tfrac{1}{2})^{2}=u^{2}+u+\tfrac{1}{4}.
E, usando a identidade do Passo 2, o denominador vira \bigl(4(1-u^{2})\bigr)^{3/2}=4^{3/2}(1-u^{2})^{3/2}=8(1-u^{2})^{3/2}. Assim a integral fica
\int \frac{x^{2}}{(3+4x-4x^{2})^{3/2}}\,dx =\frac{1}{8}\int \frac{u^{2}+u+\tfrac{1}{4}}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du.

Passo 4

Quebro a integral em três integrais mais simples:
\frac{1}{8}\int \frac{u^{2}+u+\tfrac{1}{4}}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du =\frac{1}{8}\left(\int \frac{u^{2}}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du+\int \frac{u}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du+\tfrac{1}{4}\int \frac{1}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du\right).
Agora vou resolver cada uma separadamente, explicando as técnicas usadas.

Passo 5

Integral 1: \displaystyle \int \frac{u}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du.
Uso a substituição natural t=1-u^{2}, então dt=-2u\,du, ou u\,du=-\tfrac{1}{2}dt. Assim
\int \frac{u}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du =-\tfrac{1}{2}\int t^{-3/2}\,dt.
Integro t^{-3/2}: \int t^{-3/2}\,dt = -2t^{-1/2}+C. Portanto
\int \frac{u}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du =-\tfrac{1}{2}\cdot(-2)t^{-1/2}+C =(1-u^{2})^{-1/2}+C.
Ou seja,
\int \frac{u}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}+C.

Passo 6

Integral 2: \displaystyle \int \frac{1}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du.
Uma forma didática: use a substituição trigonométrica u=\sin\theta. Então du=\cos\theta\,d\theta e 1-u^{2}=\cos^{2}\theta. Assim
\int \frac{1}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du =\int \frac{1}{\cos^{3}\theta}\cos\theta\,d\theta =\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\tan\theta + C.
Voltando a u: como u=\sin\theta temos \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}. Portanto
\int \frac{1}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du=\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}+C.
Também é útil lembrar que a verificação pode ser feita derivando \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}} (vai dar (1-u^{2})^{-3/2}).

Passo 7

Integral 3: \displaystyle \int \frac{u^{2}}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du.
Faço uma manipulação algébrica para reduzir a potência no numerador:
u^{2}=1-(1-u^{2}).
Então
\frac{u^{2}}{(1-u^{2})^{3/2}} =\frac{1}{(1-u^{2})^{3/2}}-\frac{1-u^{2}}{(1-u^{2})^{3/2}} =\frac{1}{(1-u^{2})^{3/2}}-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Portanto
\int \frac{u^{2}}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du =\int \frac{1}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du-\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Já calculei a primeira parte no Passo 6 e a segunda é a primitiva clássica do arco seno:
\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du=\arcsin(u)+C.
Substituindo:
\int \frac{u^{2}}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du =\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}-\arcsin(u)+C.

Passo 8

Agora volto à soma das três integrais (Passo 4) e insiro os resultados:
  • \displaystyle \int \frac{u^{2}}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du=\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}-\arcsin(u).
  • \displaystyle \int \frac{u}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{(1-u^{2})^{3/2}}\,du=\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Então a integral original vale
\frac{1}{8}\Biggl(\Bigl(\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}-\arcsin(u)\Bigr)+\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}+\tfrac{1}{4}\cdot\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\Biggr)+C.

Passo 9

Agrupo os termos em \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}} e em \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}:
\frac{1}{8}\left(\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}+\frac{1}{4}\cdot\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}-\arcsin(u)\right)+C.
Some os coeficientes de \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}: 1+\tfrac{1}{4}=\tfrac{5}{4}. Assim
\frac{1}{8}\left(\frac{5}{4}\cdot\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}-\arcsin(u)\right)+C.
Colocando sobre um denominador comum e simplificando constantes obtemos (fazendo as multiplicações):
\frac{5}{32}\cdot\frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}-\frac{1}{8}\arcsin(u)+C.
Combino os dois primeiros termos em uma única fração:
\frac{5u+4}{32}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}-\frac{1}{8}\arcsin(u)+C.

Passo 10

Volto à variável original x. Lembre que u=x-\tfrac{1}{2} e que
\sqrt{1-u^{2}}=\sqrt{1-(x-\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{3+4x-4x^{2}}
porque 3+4x-4x^{2}=4(1-u^{2}). Portanto \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{3+4x-4x^{2}}}.
Substituindo na expressão obtida no Passo 9:
\frac{5u+4}{32}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} =\frac{5(x-\tfrac{1}{2})+4}{32}\cdot\frac{2}{\sqrt{3+4x-4x^{2}}}.
Calculo o numerador:
5\Bigl(x-\tfrac{1}{2}\Bigr)+4=5x-\tfrac{5}{2}+4=5x+\tfrac{3}{2}=\frac{10x+3}{2}.
Logo
\frac{5u+4}{32}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} =\frac{\tfrac{10x+3}{2}}{32}\cdot\frac{2}{\sqrt{3+4x-4x^{2}}} =\frac{10x+3}{32}\cdot\frac{1}{\sqrt{3+4x-4x^{2}}}.
E o termo arco seno fica -\dfrac{1}{8}\arcsin(u)=-\dfrac{1}{8}\arcsin\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{10x+3}{32\sqrt{3+4x-4x^{2}}}-\frac{1}{8}\arcsin\!\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)+C

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