Calcule a integral (use identidades trigonométricas ou substituições trigonométricas).
’
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Quer-se uma primitiva (antiderivada) em termos elementares (usar identidades trigonométricas ou substituições trigonométricas está permitido).
Passo 2
Primeiro objetivo: simplificar a expressão quadrática no denominador para ver uma forma adequada para substituição trigonométrica. Vou completar o quadrado em
. Faço fator comum
e completo o quadrado:
Explicando rapidinho como foi obtido: escrevi
e usei
para chegar à forma acima. Essa forma é ótima porque lembra
, o que sugere a substituição trigonométrica
ou simplesmente usar
.
Passo 3
Faço a substituição simples de translação para centralizar o quadrado:
Reescrevendo
em
:
E, usando a identidade do Passo 2, o denominador vira
. Assim a integral fica
Passo 4
Quebro a integral em três integrais mais simples:
Agora vou resolver cada uma separadamente, explicando as técnicas usadas.
Passo 5
Integral 1:
.
Uso a substituição natural
, então
, ou
. Assim
Integro
:
. Portanto
Ou seja,
Passo 6
Integral 2:
.
Uma forma didática: use a substituição trigonométrica
. Então
e
. Assim
Voltando a
: como
temos
. Portanto
Também é útil lembrar que a verificação pode ser feita derivando
(vai dar
).
Passo 7
Integral 3:
.
Faço uma manipulação algébrica para reduzir a potência no numerador:
Então
Portanto
Já calculei a primeira parte no Passo 6 e a segunda é a primitiva clássica do arco seno:
Substituindo:
Passo 8
Agora volto à soma das três integrais (Passo 4) e insiro os resultados:
-
. -
. -
.
Então a integral original vale
Passo 9
Agrupo os termos em
e em
:
Some os coeficientes de
:
. Assim
Colocando sobre um denominador comum e simplificando constantes obtemos (fazendo as multiplicações):
Combino os dois primeiros termos em uma única fração:
Passo 10
Volto à variável original
. Lembre que
e que
porque
. Portanto
.
Substituindo na expressão obtida no Passo 9:
Calculo o numerador:
Logo
E o termo arco seno fica
.