Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas
,
para
em torno da reta
.
Informações dadas (diretamente do enunciado):
- As curvas são
e . - O intervalo em
é - O eixo de rotação é a reta
. - A região que gira é a área entre as duas curvas ao longo do intervalo indicado (ou seja, para cada
consideramos o segmento vertical entre e ).
O que é pedido:
- Calcular o volume do sólido formado por essa rotação.
Passo 2
Por que usar cascas cilíndricas e qual é a ideia (explicação didática)?
- O método das cascas cilíndricas consiste em tomar fatias do corpo paralelas ao eixo de rotação. Cada fatia, ao girar, gera uma casca cilíndrica de raio, altura e espessura conhecidos, cujo volume elemental é aproximadamente a área lateral da casca vezes a espessura.
- Aqui o eixo de rotação é horizontal (
). Portanto as cascas que ficam paralelas ao eixo são fatias horizontais (fatias com espessura ). Cada fatia horizontal, ao girar em torno de , gera uma casca cilíndrica. - Para uma casca horizontal em altura
: - o raio da casca é a distância vertical do ponto
até o eixo , ou seja . - a altura da casca (comprimento, no sentido do eixo
) é o comprimento do segmento horizontal dentro da região: chamaremos isso de . - a espessura é
.
- o raio da casca é a distância vertical do ponto
- O volume elemental dado por essa casca é
Agora precisamos determinar
: para cada
quais valores de
pertencem à região? Em termos práticos,
é a extensão em
do conjunto de pontos
que satisfazem que
fica entre
e
(ou seja,
), com
. Vai ser conveniente analisar a posição relativa das curvas.
Passo 3
Identificar o ponto em que as curvas se cruzam e comportamento das funções:
- As duas curvas se intersectam na solução de
. Existe uma única solução em (na verdade em ), chamada de ponto fixo de . Denotamos por essa solução: Numericamente, . - Para
tem-se (logo o ramo superior é e o inferior é ). - Para
tem-se (logo o ramo superior é e o inferior é ). - O intervalo total de
que a região ocupa é de (em ) até (em , já que ). Assim .
Passo 4
Determinar
(comprimento horizontal da casca) — análise por faixas de
:
Vamos montar
para
. Há uma mudança de expressão quando a linha horizontal atinge o ponto de interseção
. Após estudo (ver raciocínio abaixo), encontra-se que:
- Para
, a fatia horizontal encontra-se entre e . Logo Intuição: para esses pequenos, a igualdade dá um ponto dentro do intervalo e a equação tem solução fora do intervalo , então o segmento horizontal vai de até . - Para
, a fatia horizontal encontra-se entre e . Logo Intuição: para maiores que a interseção com a curva ocorre dentro de e o ponto está fora do intervalo quando (ou não contribui globalmente), de modo que a fatia vai de até . (As discussões de continuidade mostram que em ambas as expressões coincidem: por ser solução de .)
Portanto o volume total é a soma de duas integrais:
Passo 5
Calcular a primeira integral (parte algébrica simples):
Passo 6
Tratar a segunda integral envolvendo
. Vamos usar substituição trigonométrica:
- Faça
. Então e . - Quando
temos (porque ), e quando temos . - Assim
Separe em duas parcelas:
Passo 7
Calcular
por partes (fórmula e execução):
- Fórmula de integração por partes: para funções
e , - Escolhemos
e . Então e . - Portanto
Usamos
quando for conveniente, mas ainda deixamos simbólico por ora.
Passo 8
Calcular
. Use a identidade
:
Novamente por partes para
:
- Tome
, . Então , . - Assim
Avaliado de
a
:
Logo
Passo 9
Juntar as duas parcelas da integral transformada:
Agora usar
(definição de
) e as identidades trigonométricas:
-
-
Substituindo:
Somando tudo obtemos
Passo 10
Somar primeira e segunda parcelas (ver Passos 5 e 9) para obter a integral total que multiplica
:
- Primeira parcela:
- Segunda parcela:
Somando:
Agrupando termos semelhantes:
Reescrevendo (colocando de forma compacta):
Finalmente o volume é
onde
é a solução de
em
.]
Passo 11
Avaliação numérica (para dar um valor prático na prova):
- Usando
e , calcula-se e então