Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=x, y=\cos x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}; em torno de y=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas \,y=x, \,y=\cos x para 0 \le x \le \dfrac{\pi}{4} em torno da reta \,y=-1.
Informações dadas (diretamente do enunciado):
  • As curvas são y=x e y=\cos x.
  • O intervalo em x é \;0 \le x \le \dfrac{\pi}{4}.
  • O eixo de rotação é a reta y=-1.
  • A região que gira é a área entre as duas curvas ao longo do intervalo indicado (ou seja, para cada x\in[0,\pi/4] consideramos o segmento vertical entre y=\min(x,\cos x) e y=\max(x,\cos x)).
O que é pedido:
  • Calcular o volume do sólido formado por essa rotação.

Passo 2

Por que usar cascas cilíndricas e qual é a ideia (explicação didática)?
  • O método das cascas cilíndricas consiste em tomar fatias do corpo paralelas ao eixo de rotação. Cada fatia, ao girar, gera uma casca cilíndrica de raio, altura e espessura conhecidos, cujo volume elemental é aproximadamente a área lateral da casca vezes a espessura.
  • Aqui o eixo de rotação é horizontal ( y=-1). Portanto as cascas que ficam paralelas ao eixo são fatias horizontais (fatias com espessura dy). Cada fatia horizontal, ao girar em torno de y=-1, gera uma casca cilíndrica.
  • Para uma casca horizontal em altura y:
    • o raio da casca é a distância vertical do ponto y até o eixo y=-1, ou seja \,r(y)=y-(-1)=y+1.
    • a altura da casca (comprimento, no sentido do eixo x) é o comprimento do segmento horizontal dentro da região: chamaremos isso de L(y).
    • a espessura é dy.
  • O volume elemental dado por essa casca é \,dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot (\text{espessura}) = 2\pi (y+1) L(y)\,dy.
Agora precisamos determinar L(y): para cada y quais valores de x\in[0,\pi/4] pertencem à região? Em termos práticos, L(y) é a extensão em x do conjunto de pontos (x,y) que satisfazem que y fica entre x e \cos x (ou seja, \min(x,\cos x)\le y\le\max(x,\cos x)), com 0\le x\le\pi/4. Vai ser conveniente analisar a posição relativa das curvas.

Passo 3

Identificar o ponto em que as curvas se cruzam e comportamento das funções:
  • As duas curvas se intersectam na solução de x=\cos x. Existe uma única solução c em [0,\pi/4] (na verdade em [0,1]), chamada de ponto fixo de \cos. Denotamos por c essa solução: c=\text{único }x\in[0,\pi/4]\text{ tal que }c=\cos c.úNumericamente, c\approx 0{,}7390851332.
  • Para x\in[0,c] tem-se \cos x \ge x (logo o ramo superior é \cos x e o inferior é x).
  • Para x\in[c,\pi/4] tem-se \cos x \le x (logo o ramo superior é x e o inferior é \cos x).
  • O intervalo total de y que a região ocupa é de y_{\min}=0 (em x=0) até y_{\max}=1 (em x=0, já que \cos0=1). Assim y\in[0,1].

Passo 4

Determinar L(y) (comprimento horizontal da casca) — análise por faixas de y:
Vamos montar L(y) para y\in[0,1]. Há uma mudança de expressão quando a linha horizontal atinge o ponto de interseção y=c. Após estudo (ver raciocínio abaixo), encontra-se que:
  • Para 0 \le y \le c, a fatia horizontal encontra-se entre x=0 e x=y. Logo L(y)=y\quad\text{para }0\le y\le c.Intuição: para esses y pequenos, a igualdade x=y dá um ponto dentro do intervalo [0,\pi/4] e a equação \cos x = y tem solução fora do intervalo [0,\pi/4], então o segmento horizontal vai de x=0 até x=y.
  • Para c \le y \le 1, a fatia horizontal encontra-se entre x=0 e x=\operatorname{arccos}(y). Logo L(y)=\operatorname{arccos}(y)\quad\text{para }c\le y\le 1.Intuição: para y maiores que c a interseção com a curva x=\cos^{-1}(y) ocorre dentro de [0,\pi/4] e o ponto x=y está fora do intervalo quando y>\pi/4 (ou não contribui globalmente), de modo que a fatia vai de x=0 até x=\operatorname{arccos}(y). (As discussões de continuidade mostram que em y=c ambas as expressões coincidem: c=\operatorname{arccos}\text{(c)} por ser solução de c=\cos c.)
Portanto o volume total é a soma de duas integrais:
V = 2\pi\left(\int_{0}^{c} (y+1)\,y\,dy \;+\; \int_{c}^{1} (y+1)\,\operatorname{arccos}(y)\,dy\right).

Passo 5

Calcular a primeira integral (parte algébrica simples):
\int_{0}^{c} (y+1)y\,dy=\int_{0}^{c} (y^{2}+y)\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{c} = \frac{c^{3}}{3}+\frac{c^{2}}{2}.

Passo 6

Tratar a segunda integral envolvendo \operatorname{arccos}(y). Vamos usar substituição trigonométrica:
  • Faça y=\cos x. Então dy=-\sin x\,dx e \operatorname{arccos}(y)=x.
  • Quando y=c temos x=\operatorname{arccos}\text{(c)}=c (porque c=\cos c), e quando y=1 temos x=0.
  • Assim \int_{c}^{1} (y+1)\operatorname{arccos}(y)\,dy = \int_{x=c}^{x=0} (\cos x +1)\,x\,(-\sin x)\,dx = \int_{0}^{c} x\sin x(\cos x +1)\,dx.
Separe em duas parcelas:
\int_{0}^{c} x\sin x(\cos x +1)\,dx = \int_{0}^{c} x\sin x\cos x\,dx + \int_{0}^{c} x\sin x\,dx.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int_{0}^{c} x\sin x\,dx por partes (fórmula e execução):
  • Fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v'(x), \int u\,v' = u v - \int u' v.
  • Escolhemos u=x e v'=\sin x. Então u'=1 e v=-\cos x.
  • Portanto \int_{0}^{c} x\sin x\,dx = \big[-x\cos x\big]_{0}^{c} + \int_{0}^{c} \cos x\,dx = -c\cos c + \sin c.
Usamos \cos c = c quando for conveniente, mas ainda deixamos simbólico por ora.

Passo 8

Calcular \displaystyle \int_{0}^{c} x\sin x\cos x\,dx. Use a identidade \sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin 2x:
\int_{0}^{c} x\sin x\cos x\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{c} x\sin 2x\,dx.
Novamente por partes para \int x\sin 2x\,dx:
  • Tome u=x, v'=\sin 2x. Então u'=1, v=-\tfrac{1}{2}\cos 2x.
  • Assim \int x\sin 2x\,dx = -\frac{x\cos 2x}{2} + \frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx = -\frac{x\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}.
Avaliado de 0 a c:
\int_{0}^{c} x\sin 2x\,dx = -\frac{c\cos 2c}{2} + \frac{\sin 2c}{4}.
Logo
\int_{0}^{c} x\sin x\cos x\,dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{c\cos 2c}{2} + \frac{\sin 2c}{4}\right) = -\frac{c\cos 2c}{4} + \frac{\sin 2c}{8}.

Passo 9

Juntar as duas parcelas da integral transformada:
\int_{c}^{1} (y+1)\operatorname{arccos}(y)\,dy = \left(-\frac{c\cos 2c}{4} + \frac{\sin 2c}{8}\right) + \left(-c\cos c + \sin c\right).
Agora usar \cos c = c (definição de c) e as identidades trigonométricas:
  • \cos 2c = 2\cos^{2}c - 1 = 2c^{2}-1.
  • \sin 2c = 2\sin c\cos c = 2c\sin c.
    Substituindo:
-\frac{c\cos 2c}{4} = -\frac{c(2c^{2}-1)}{4} = -\frac{1}{2}c^{3} + \frac{c}{4},
\frac{\sin 2c}{8} = \frac{2c\sin c}{8} = \frac{c\sin c}{4},
-c\cos c + \sin c = -c^{2} + \sin c.
Somando tudo obtemos
\int_{c}^{1} (y+1)\operatorname{arccos}(y)\,dy = -\frac{1}{2}c^{3} + \frac{c}{4} + \frac{c\sin c}{4} - c^{2} + \sin c.

Passo 10

Somar primeira e segunda parcelas (ver Passos 5 e 9) para obter a integral total que multiplica 2\pi:
  • Primeira parcela: \dfrac{c^{3}}{3}+\dfrac{c^{2}}{2}.
  • Segunda parcela: -\dfrac{1}{2}c^{3} - c^{2} + \dfrac{c}{4} + \dfrac{c\sin c}{4} + \sin c.
Somando:
S = \frac{c^{3}}{3}+\frac{c^{2}}{2} -\frac{1}{2}c^{3} - c^{2} + \frac{c}{4} + \frac{c\sin c}{4} + \sin c.
Agrupando termos semelhantes:
\begin{aligned} \text{(termos em }c^{3})\\ &:\\ \frac{c^{3}}{3}-\frac{1}{2}c^{3} = -\frac{1}{6}c^{3},\\[4pt] \text{(termos em }c^{2})\\ &:\\ \frac{c^{2}}{2}-c^{2} = -\frac{1}{2}c^{2},\\[4pt] \text{(termos lineares e trig)}\\ &:\\ \frac{c}{4} + \left(\frac{c}{4}+1\right)\sin c. \end{aligned}
Reescrevendo (colocando de forma compacta):
S = -\frac{1}{6}c^{3} -\frac{1}{2}c^{2} + \frac{c}{4} + \left(1+\frac{c}{4}\right)\sin c.
Finalmente o volume é
V = 2\pi S = 2\pi\left(-\frac{1}{6}c^{3} -\frac{1}{2}c^{2} + \frac{c}{4} + \left(1+\frac{c}{4}\right)\sin c\right),
onde c é a solução de c=\cos c em [0,\pi/4].]

Passo 11

Avaliação numérica (para dar um valor prático na prova):
  • Usando c\approx 0{,}7390851332 e \sin c\approx 0{,}6736120291, calcula-se S \approx 0{,}6427603,e então V = 2\pi S \approx 2\pi\cdot 0{,}6427603 \approx 4{,}0389.

Resposta

V \approx 4{,}0389

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