Calcule a integral (use integração por partes).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e instrui a usar integração por partes. As informações dadas são somente a função integranda
e que devemos aplicar integração por partes. Vou resolver passo a passo, explicando tudo com calma.
Passo 2
A fórmula de integração por partes é
Aqui
e
são funções de
. A ideia é escolher
de modo que
seja mais simples que
, e escolher
de forma que seja fácil encontrar
. Vou explicar o que cada símbolo significa:
-
é uma função escolhida que será derivada para obter . -
é a parte restante da integral que será integrada para obter . -
é a derivada de em relação a , multiplicada por . -
é uma primitiva de , ou seja, .
Passo 3
Escolha de
e
. Uma regra prática comum é: escolha
como uma função logarítmica ou funções que ficam mais simples ao derivar. Portanto escolho
Justificativa:
fica simples quando derivada e
é fácil de integrar.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando ,
Derivando
Integrando
,
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
,
Colocando o fator
fora da integral,
Passo 6
Calcular
fazendo divisão polinomial. Podemos escrever
Verificação rápida:
, somando o resto
obtém-se
. Portanto a decomposição é correta.
Passo 7
Substituir a decomposição na integral e integrar termo a termo:
Agora as primitivadas são fáceis:
Logo
Passo 8
Voltar à expressão obtida em Passo 5 e substituir o resultado do Passo 7:
onde
é a constante de integração. Agora distribuo o
e reúno termos semelhantes (em particular os termos com
e os termos polinomiais).
Passo 9
Fazendo a simplificação algébrica dos termos (colocando os termos com
juntos e simplificando os termos polinomiais) obtemos a forma final da primitiva. Mantenha a constante de integração
.