Calcule a integral (use integração por partes).
\int x \ln (1+x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \ln(1+x)\,dx,
e instrui a usar integração por partes. As informações dadas são somente a função integranda x\ln(1+x) e que devemos aplicar integração por partes. Vou resolver passo a passo, explicando tudo com calma.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u e v são funções de x. A ideia é escolher u de modo que du seja mais simples que u, e escolher dv de forma que seja fácil encontrar v=\int dv. Vou explicar o que cada símbolo significa:
  • u é uma função escolhida que será derivada para obter du.
  • dv é a parte restante da integral que será integrada para obter v.
  • du é a derivada de u em relação a x, multiplicada por dx.
  • v é uma primitiva de dv, ou seja, v=\int dv.

Passo 3

Escolha de u e dv. Uma regra prática comum é: escolha u como uma função logarítmica ou funções que ficam mais simples ao derivar. Portanto escolho
u = \ln(1+x),\qquad dv = x\,dx.
Justificativa: \ln(1+x) fica simples quando derivada e x é fácil de integrar.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivando u,
du = \frac{d}{dx}\bigl(\ln(1+x)\bigr)\,dx = \frac{1}{1+x}\,dx.
Integrando dv,
v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x\ln(1+x)\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du,
\int x\ln(1+x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(1+x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{1+x}\,dx.
Colocando o fator 1/2 fora da integral,
\int x\ln(1+x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(1+x) - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x}\,dx.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int \frac{x^2}{1+x}\,dx fazendo divisão polinomial. Podemos escrever
\frac{x^2}{1+x} = x-1 + \frac{1}{1+x}.
Verificação rápida: (x-1)(1+x)=x^2-1, somando o resto 1 obtém-se x^2. Portanto a decomposição é correta.

Passo 7

Substituir a decomposição na integral e integrar termo a termo:
\int \frac{x^2}{1+x}\,dx = \int \bigl(x-1+\frac{1}{1+x}\bigr)\,dx.
Agora as primitivadas são fáceis:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2},\qquad \int 1\,dx = x,\qquad \int \frac{1}{1+x}\,dx = \ln(1+x).
Logo
\int \frac{x^2}{1+x}\,dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln(1+x).

Passo 8

Voltar à expressão obtida em Passo 5 e substituir o resultado do Passo 7:
\int x\ln(1+x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(1+x) - \frac{1}{2}\Bigl(\frac{x^2}{2} - x + \ln(1+x)\Bigr) + C,
onde C é a constante de integração. Agora distribuo o -\tfrac{1}{2} e reúno termos semelhantes (em particular os termos com \ln(1+x) e os termos polinomiais).

Passo 9

Fazendo a simplificação algébrica dos termos (colocando os termos com \ln(1+x) juntos e simplificando os termos polinomiais) obtemos a forma final da primitiva. Mantenha a constante de integração C.

Resposta

\frac{1}{2}\bigl(x^2-1\bigr)\ln(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}+C

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