Calcule a integral (use soma de frações parciais).
’
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Usamos a sugestão do enunciado: resolver por soma de frações parciais. Informações dadas: a função racional tem denominador
, ou seja, um quadrado de um polinômio irreduzível de grau 2. A tarefa é encontrar a antiderivada (primitiva) dessa função.
Passo 2
Forma de decomposição por frações parciais para um denominador que é uma potência de quadrático irreduzível: para
devemos admitir termos da forma
Explicação didática: quando o denominador tem um fator irreduzível quadrático
elevado à potência
, a decomposição pede, para cada potência
, um numerador de grau estritamente menor que 2, ou seja, do tipo
. Por isso colocamos um numerador linear sobre
e outro numerador linear sobre
.
Passo 3
Igualando a função original à soma proposta:
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Agora expandimos o lado direito:
então
Igualamos coeficientes de polinômios (coeficientes de
):
- Coeficiente de
: , logo . - Coeficiente de
: , logo . - Coeficiente de
: . Como , tem-se . - Coeficiente constante:
. Como , tem-se .
Portanto os constantes são
,
,
,
.
Passo 4
Substituindo os valores encontrados, a decomposição fica
Usando linearidade da integral, escrevemos
Passo 5
Integramos o primeiro termo. Lembrando que a derivada de
é
, temos
Breve comentário didático: a função
é a primitiva padrão de
; isto vem de que
.
Passo 6
Integramos o segundo termo por substituição. Seja
. Então
, ou seja
. Substituindo:
Integrando
:
Voltando à variável
(lembrando que
):
Passo 7
Somando as primitivas parciais encontradas (e juntando a constante de integração num único
), obtém-se a antiderivada da integral dada.