Calcule a integral (use soma de frações parciais).
\int \frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx
Usamos a sugestão do enunciado: resolver por soma de frações parciais. Informações dadas: a função racional tem denominador \left(x^{2}+1\right)^{2}, ou seja, um quadrado de um polinômio irreduzível de grau 2. A tarefa é encontrar a antiderivada (primitiva) dessa função.

Passo 2

Forma de decomposição por frações parciais para um denominador que é uma potência de quadrático irreduzível: para \left(x^{2}+1\right)^{2} devemos admitir termos da forma
\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
Explicação didática: quando o denominador tem um fator irreduzível quadrático q(x)=x^{2}+1 elevado à potência 2, a decomposição pede, para cada potência q(x)^{k}, um numerador de grau estritamente menor que 2, ou seja, do tipo Ex+F. Por isso colocamos um numerador linear sobre x^{2}+1 e outro numerador linear sobre \left(x^{2}+1\right)^{2}.

Passo 3

Igualando a função original à soma proposta:
\frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por \left(x^{2}+1\right)^{2} obtém-se
x^{2}+x+1=(Ax+B)(x^{2}+1)+(Cx+D).
Agora expandimos o lado direito:
(Ax+B)(x^{2}+1)=Ax^{3}+Bx^{2}+Ax+B,
então
x^{2}+x+1=Ax^{3}+Bx^{2}+(A+C)x+(B+D).
Igualamos coeficientes de polinômios (coeficientes de x^{3},x^{2},x,1):
  • Coeficiente de x^{3}: 0=A, logo A=0.
  • Coeficiente de x^{2}: 1=B, logo B=1.
  • Coeficiente de x: 1=A+C. Como A=0, tem-se C=1.
  • Coeficiente constante: 1=B+D. Como B=1, tem-se D=0.
Portanto os constantes são A=0, B=1, C=1, D=0.

Passo 4

Substituindo os valores encontrados, a decomposição fica
\frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
Usando linearidade da integral, escrevemos
\int \frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.

Passo 5

Integramos o primeiro termo. Lembrando que a derivada de \arctan x é \dfrac{1}{x^{2}+1}, temos
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x.
Breve comentário didático: a função \arctan x é a primitiva padrão de \dfrac{1}{x^{2}+1}; isto vem de que \dfrac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 6

Integramos o segundo termo por substituição. Seja \,u=x^{2}+1. Então \,du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Substituindo:
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
Integrando u^{-2}:
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\big(-u^{-1}\big)+\text{const}=-\frac{1}{2u}+\text{const}.
Voltando à variável x (lembrando que u=x^{2}+1):
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx=-\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}+\text{const}.

Passo 7

Somando as primitivas parciais encontradas (e juntando a constante de integração num único +C), obtém-se a antiderivada da integral dada.

Resposta

\arctan x-\dfrac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}+C

Exercícios relacionados