Calcule a integral (use identidades trigonométricas ou substituições trigonométricas).
’
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a integral
. - A tarefa é calcular uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja encontrar uma expressão
tal que , mais constante de integração . - Informações úteis extraídas do enunciado:
- O denominador pode ser simplificado completando o quadrado:
. - Não há valores numéricos faltando; a integral é indefinida.
- O denominador pode ser simplificado completando o quadrado:
Passo 2
Primeiro passo prático: complete o quadrado no denominador e faça a troca de variável que simplifica a expressão.
- Completar o quadrado:
- Faça a substituição simples
. Então e . - Substituindo na integral, o denominador fica
e o numerador fica
Portanto a integral em
é
Passo 3
Separe a fração em parcelas mais manejáveis (divida o numerador termo a termo):
A ideia agora é transformar cada uma dessas parcelas em formas cuja integral seja conhecida ou fácil de obter.
Passo 4
Truque algébrico para a primeira parcela: escreva
. Assim
Substituindo isso na soma do Passo 3 obtemos
(Observe que
.)
Passo 5
Agora a integral ficou como soma de três integrais mais simples:
Vou resolver cada uma separadamente, explicando bem os métodos.
Passo 6
Integral da primeira parcela:
.
- Fórmula conhecida: a derivada de
é . - Logo
Passo 7
Integral da segunda parcela:
.
- Aqui reconhecemos uma derivada direta: ponha
. Então . - A integral transforma-se em
Passo 8
Integral da terceira parcela:
.
- Um método direto e didático é usar a substituição trigonométrica
. Então e . - Substituindo:
- Use a identidade
. Portanto
- Volte para
: como temos . Além disso e
então
.
- Substituindo:
Passo 9
Some as três integrais encontradas:
- Da Parcela 1:
. - Da Parcela 2:
. - Da Parcela 3:
.
Somando:
Combine termos semelhantes:
Reescrevendo a parte racional com denominador comum:
Lembre que
. Substituindo
de volta:
Passo 10
Resumo final: uma primitiva da função dada é
Pode-se verificar derivando
e conferindo que volta-se à função integranda, como deve ser.