Calcule a integral (use identidades trigonométricas ou substituições trigonométricas).
\int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a integral \displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}}\,dx.
  • A tarefa é calcular uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}+1}{(x^{2}-2x+2)^{2}}, mais constante de integração C.
  • Informações úteis extraídas do enunciado:
    • O denominador pode ser simplificado completando o quadrado: x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1.
    • Não há valores numéricos faltando; a integral é indefinida.

Passo 2

Primeiro passo prático: complete o quadrado no denominador e faça a troca de variável que simplifica a expressão.
  • Completar o quadrado:
x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1.
  • Faça a substituição simples \displaystyle u=x-1. Então \displaystyle du=dx e \displaystyle x=u+1.
  • Substituindo na integral, o denominador fica (u^{2}+1)^{2} e o numerador fica
x^{2}+1=(u+1)^{2}+1=u^{2}+2u+2.
Portanto a integral em u é
\int \frac{u^{2}+2u+2}{(u^{2}+1)^{2}}\,du.

Passo 3

Separe a fração em parcelas mais manejáveis (divida o numerador termo a termo):
\frac{u^{2}+2u+2}{(u^{2}+1)^{2}} = \frac{u^{2}}{(u^{2}+1)^{2}}+\frac{2u}{(u^{2}+1)^{2}}+\frac{2}{(u^{2}+1)^{2}}.
A ideia agora é transformar cada uma dessas parcelas em formas cuja integral seja conhecida ou fácil de obter.

Passo 4

Truque algébrico para a primeira parcela: escreva u^{2}=(u^{2}+1)-1. Assim
\frac{u^{2}}{(u^{2}+1)^{2}} =\frac{u^{2}+1}{(u^{2}+1)^{2}}-\frac{1}{(u^{2}+1)^{2}} =\frac{1}{u^{2}+1}-\frac{1}{(u^{2}+1)^{2}}.
Substituindo isso na soma do Passo 3 obtemos
\frac{u^{2}+2u+2}{(u^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{u^{2}+1}+\frac{2u}{(u^{2}+1)^{2}}+\frac{1}{(u^{2}+1)^{2}}.
(Observe que -\dfrac{1}{(u^{2}+1)^{2}}+\dfrac{2}{(u^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1}{(u^{2}+1)^{2}}.)

Passo 5

Agora a integral ficou como soma de três integrais mais simples:
\int \frac{u^{2}+2u+2}{(u^{2}+1)^{2}}\,du = \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du + \int \frac{2u}{(u^{2}+1)^{2}}\,du + \int \frac{1}{(u^{2}+1)^{2}}\,du.
Vou resolver cada uma separadamente, explicando bem os métodos.

Passo 6

Integral da primeira parcela: \displaystyle \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du.
  • Fórmula conhecida: a derivada de \arctan u é \dfrac{d}{du}\big(\arctan u\big)=\dfrac{1}{u^{2}+1}.
  • Logo
\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du=\arctan u.

Passo 7

Integral da segunda parcela: \displaystyle \int \frac{2u}{(u^{2}+1)^{2}}\,du.
  • Aqui reconhecemos uma derivada direta: ponha w=u^{2}+1. Então dw=2u\,du.
  • A integral transforma-se em
\int \frac{2u}{(u^{2}+1)^{2}}\,du=\int \frac{1}{w^{2}}\,dw=-\frac{1}{w}+C=-\frac{1}{u^{2}+1}+C.

Passo 8

Integral da terceira parcela: \displaystyle \int \frac{1}{(u^{2}+1)^{2}}\,du.
  • Um método direto e didático é usar a substituição trigonométrica u=\tan\theta. Então du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e u^{2}+1=\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Substituindo:
\int \frac{1}{(u^{2}+1)^{2}}\,du =\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta =\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
  • Use a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Portanto
\int \cos^{2}\theta\,d\theta =\int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta + C.
  • Volte para u: como u=\tan\theta temos \theta=\arctan u. Além disso \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta e
\sin\theta=\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}},\qquad \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}},
então \sin 2\theta = 2\frac{u}{u^{2}+1}=\frac{2u}{u^{2}+1}.
  • Substituindo:
\int \frac{1}{(u^{2}+1)^{2}}\,du =\frac{1}{2}\arctan u+\frac{1}{4}\cdot\frac{2u}{u^{2}+1}+C =\frac{1}{2}\arctan u+\frac{1}{2}\cdot\frac{u}{u^{2}+1}+C.

Passo 9

Some as três integrais encontradas:
  • Da Parcela 1: \arctan u.
  • Da Parcela 2: -\dfrac{1}{u^{2}+1}.
  • Da Parcela 3: \dfrac{1}{2}\arctan u+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u}{u^{2}+1}.
Somando:
\arctan u -\frac{1}{u^{2}+1} + \frac{1}{2}\arctan u + \frac{1}{2}\cdot\frac{u}{u^{2}+1} + C.
Combine termos semelhantes:
\left(1+\frac{1}{2}\right)\arctan u +\left(-\frac{1}{u^{2}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{u}{u^{2}+1}\right)+C =\frac{3}{2}\arctan u +\frac{\tfrac{1}{2}u-1}{u^{2}+1}+C.
Reescrevendo a parte racional com denominador comum:
\frac{\tfrac{1}{2}u-1}{u^{2}+1}=\frac{u-2}{2(u^{2}+1)}.
Lembre que u=x-1. Substituindo u=x-1 de volta:
\frac{3}{2}\arctan(x-1)+\frac{(x-1)-2}{2\big((x-1)^{2}+1\big)}+C =\frac{3}{2}\arctan(x-1)+\frac{x-3}{2\big((x-1)^{2}+1\big)}+C.

Passo 10

Resumo final: uma primitiva da função dada é
F(x)=\frac{3}{2}\arctan(x-1)+\frac{x-3}{2\big((x-1)^{2}+1\big)}+C.
Pode-se verificar derivando F(x) e conferindo que volta-se à função integranda, como deve ser.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\arctan(x-1)+\frac{x-3}{2\big((x-1)^{2}+1\big)}+C

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