Calcule as integral utilizando a substituição trigonométrica indicada. Faça um esboço do triângulo retângulo correspondente:
integral raizx^2-4x d x x=2 sec theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral raizx^2-4x,dx usando a substituição trigonométrica x = 2sectheta. Vamos precisar montar o triângulo retângulo que relaciona x, 2 e raizx^2-4 e usar identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

A partir de x = 2sectheta obtemos sectheta = x/2. Num triângulo retângulo com ângulo theta, isso significa hipotenusa = x e cateto adjacente = 2. Pelo teorema de Pitágoras, o cateto oposto vale raizx^2-4. Esboçamos o triângulo com esses comprimentos.
Derivando x = 2sectheta em relação a theta, obtemos
dx = 2secthetatantheta,dtheta
Como tantheta = raizx^2-42, concluímos que
raizx^2-4 = 2tantheta
Substituindo na integral original temos
integral raizx^2-4x,dx = integral 2tantheta2secthetacdotl(2secthetatantheta,dthetar) = 2integral tan^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade tan^2theta = sec^2theta - 1. Logo
2integral tan^2theta,dtheta = 2integral (sec^2theta - 1),dtheta = 2l(tantheta - thetar) + C

Passo 4

Voltando a x: do triângulo tantheta = raizx^2-42 e . Assim a primitiva fica

Resposta

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