Uma parede vertical faz um ângulo de medida 23 pi radianos com o solo. Uma escada de 6 m está encostada na parede e sua ponta escorrega pela parede a uma taxa de 1 m / s. Quão rápido está variando a área do triângulo formado pela escada, a parede e o chão quando a escada faz com o chão um ângulo de 16 pi radianos?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma escada de comprimento constante 6 m apoiada numa parede vertical e deslizando para baixo a uma taxa de 1 m/s, e queremos a velocidade de variação da área do triângulo formado pela escada, pela parede e pelo chão quando o ângulo da escada com o chão é π/6. O conteúdo é de taxas relacionadas em triângulo retângulo e usaremos derivadas.

Passo 2

Denotemos por x(t) a distância do pé da escada ao pé da parede (base) e y(t) a altura da ponta da escada na parede. Como a escada tem comprimento L=6 m, valem as relações do triângulo retângulo: x² + y² = 6² = 36.

Passo 3

Diferenciando x² + y² = 36 em relação ao tempo t, obtemos 2x·dx/dt + 2y·dy/dt = 0, ou seja, dx/dt = –(y/x)·(dy/dt). Na situação de interesse, θ = π/6, então x = 6 cos(π/6) = 3√3 e y = 6 sin(π/6) = 3. Como a ponta escorrega para baixo a 1 m/s, temos dy/dt = –1 m/s. Logo
dx/dt = –(3)/(3√3)·(–1) = 1/√3 = √3/3 m/s.

Passo 4

A área do triângulo é A = ½·x·y. Para saber dA/dt, derivamos:
dA/dt = tfrac12l(x,dy/dt + y,dx/dtr)

Passo 5

Substituindo x = 3√3, y = 3, dy/dt = –1 e dx/dt = 1/√3, obtemos:
dA/dt = tfrac12l(3√3·(1) + 3·(1/√3)r) = tfrac12l(3√3 + √3r) = √3,m^2/s

Resposta

dA/dt = –√3 m²/s

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