Uma parede vertical faz um ângulo de medida
radianos com o solo. Uma escada de
está encostada na parede e sua ponta escorrega pela parede a uma taxa de
. Quão rápido está variando a área do triângulo formado pela escada, a parede e o chão quando a escada faz com o chão um ângulo de
radianos?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma escada de comprimento constante 6 m apoiada numa parede vertical e deslizando para baixo a uma taxa de 1 m/s, e queremos a velocidade de variação da área do triângulo formado pela escada, pela parede e pelo chão quando o ângulo da escada com o chão é π/6. O conteúdo é de taxas relacionadas em triângulo retângulo e usaremos derivadas.
Passo 2
Denotemos por x(t) a distância do pé da escada ao pé da parede (base) e y(t) a altura da ponta da escada na parede. Como a escada tem comprimento L=6 m, valem as relações do triângulo retângulo: x² + y² = 6² = 36.
Passo 3
Diferenciando x² + y² = 36 em relação ao tempo t, obtemos 2x·dx/dt + 2y·dy/dt = 0, ou seja, dx/dt = –(y/x)·(dy/dt). Na situação de interesse, θ = π/6, então x = 6 cos(π/6) = 3√3 e y = 6 sin(π/6) = 3. Como a ponta escorrega para baixo a 1 m/s, temos dy/dt = –1 m/s. Logo
dx/dt = –(3)/(3√3)·(–1) = 1/√3 = √3/3 m/s.
dx/dt = –(3)/(3√3)·(–1) = 1/√3 = √3/3 m/s.
Passo 4
A área do triângulo é A = ½·x·y. Para saber dA/dt, derivamos:
Passo 5
Substituindo x = 3√3, y = 3, dy/dt = –1 e dx/dt = 1/√3, obtemos:
Resposta
dA/dt = –√3 m²/s