Encontre o gradiente de f, calcule o gradiente no ponto P0 e determine a taxa de variação de f no ponto P0 direção do vetor u.
f(x, y)=5 x y^2-4 x^3 y, P0=(1,2), u=(313, 1213).

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar o gradiente de f, depois avaliar esse gradiente no ponto P0=(1,2) e por fim calcular a taxa de variação de f nesse ponto na direção do vetor unitário vec u=(3/13,12/13). O conteúdo principal aqui é derivadas parciais e derivada direcional.

Passo 2

Para encontrar o gradiente, vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=5xy^2-4x^3y.
Derivando em relação a x:
partial fpartial x=5y^2-12x^2y
Derivando em relação a y:
partial fpartial y=10xy-4x^3

Passo 3

O gradiente de f é o vetor das parciais:
nabla f(x,y)=l(5y^2-12x^2y,;10xy-4x^3r)
Agora avaliamos em P0=(1,2):
partial fpartial x(1,2)=5cdot2^2-12cdot1^2cdot2=20-24=-4
partial fpartial y(1,2)=10cdot1cdot2-4cdot1^3=20-4=16
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nabla f(1,2)=(-4,16)

Passo 4

A derivada direcional na direção de vec u é o produto escalar nabla f(1,2)cdotvec u:
$$
D_{\vec u}f(1,2)=(-4,16)\cdot\Bigl(\tfrac{3}{13},\tfrac{12}{13}\Bigr)=\frac{-4\cdot3+16\cdot12}{13}=\frac{-12+192}{13}=\frac{180}{13}.$$

Resposta

Gradiente: nabla f(x,y)=(5y^2-12x^2y,;10xy-4x^3). No ponto P0: nabla f(1,2)=(-4,16). Taxa de variação na direção de vec u: 180/13.

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