Encontre o gradiente de
, calcule o gradiente no ponto
e determine a taxa de variação de
no ponto
direção do vetor
.
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar o gradiente de f, depois avaliar esse gradiente no ponto
e por fim calcular a taxa de variação de f nesse ponto na direção do vetor unitário
. O conteúdo principal aqui é derivadas parciais e derivada direcional.
Passo 2
Para encontrar o gradiente, vamos calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Derivando em relação a
Passo 3
O gradiente de
é o vetor das parciais:
Agora avaliamos em
Logo
Passo 4
A derivada direcional na direção de
é o produto escalar
:
$$
D_{\vec u}f(1,2)=(-4,16)\cdot\Bigl(\tfrac{3}{13},\tfrac{12}{13}\Bigr)=\frac{-4\cdot3+16\cdot12}{13}=\frac{-12+192}{13}=\frac{180}{13}.$$
Resposta
Gradiente:
. No ponto
:
. Taxa de variação na direção de
:
.