Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(0^{+}, 0^{+}\right)} \sqrt{\frac{x y^{2}+y^{3}-x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0^{+},0^{+})}\sqrt{\frac{x y^{2}+y^{3}-x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}.
Informações relevantes dadas:
  • O par (x,y) se aproxima de (0,0) pelo primeiro quadrante, ou seja, x>0 e y>0 e tendem a zero.
  • A expressão dentro da raiz é
\frac{x y^{2}+y^{3}-x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
O que se pede: determinar o limite (se existir) quando (x,y)\to(0^{+},0^{+}).

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão algébrica do numerador, para ver sua estrutura:
x y^{2}+y^{3}-x y^{3}=y^{2}\bigl(x+y-xy\bigr).
Então a função que estamos estudando é
\sqrt{\frac{y^{2}\bigl(x+y-xy\bigr)}{x^{2}+y^{2}}}.
Explicando a factorização: foi tirado o fator comum y^{2} de cada termo do numerador. Isso ajuda a visualizar a ordem de grandeza em y.

Passo 3

Verifico que a expressão dentro da raiz é não-negativa quando x,y>0 suficientemente pequenos. De fato, para 0<y<1 tem 1-y>0 e
x+y-xy = x(1-y)+y >0,
portanto o numerador y^{2}(x+y-xy) é não-negativo. Como estamos aproximando por y\to0^{+}, para pontos suficientemente próximos do zero vale 0<y<1, então a raiz é bem definida e real. (Essa observação impede problemas com raiz de número negativo.)

Passo 4

Vou obter uma cota superior conveniente para a expressão, para poder aplicar o teorema do confronto. Como x+y-xy \le x+y (porque -xy\le0), temos
\frac{y^{2}\bigl(x+y-xy\bigr)}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{y^{2}(x+y)}{x^{2}+y^{2}}.
Tomando raiz em ambos os lados (todas as quantidades são não-negativas), obtemos
\sqrt{\frac{y^{2}\bigl(x+y-xy\bigr)}{x^{2}+y^{2}}} \le \sqrt{\frac{y^{2}(x+y)}{x^{2}+y^{2}}} = y\sqrt{\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 5

Agora manipulo \sqrt{\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}} para uma cota simples que tenda a zero quando y\to0^{+}. Uso a desigualdade
x^{2}+y^{2}\ge \tfrac{1}{2}(x+y)^{2},
que é verdadeira porque (x-y)^{2}\ge0 implica x^{2}+y^{2}\ge x y + \tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) e, reorganizando, chega-se à forma exibida (ou verificar diretamente expandindo \tfrac{1}{2}(x+y)^{2}). A partir disso,
\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\le \frac{x+y}{\tfrac{1}{2}(x+y)^{2}}=\frac{2}{x+y}.
Substituindo na desigualdade do passo anterior,
\sqrt{\frac{y^{2}\bigl(x+y-xy\bigr)}{x^{2}+y^{2}}} \le y\sqrt{\frac{2}{x+y}}=\sqrt{2}\,\frac{y}{\sqrt{x+y}}.

Passo 6

Mostro que o lado direito tende a zero quando (x,y)\to(0^{+},0^{+}). Reescrevo
\frac{y}{\sqrt{x+y}}=\sqrt{y}\,\sqrt{\frac{y}{x+y}}.
Como x,y>0, temos 0<\dfrac{y}{x+y}\le 1, logo \sqrt{\dfrac{y}{x+y}}\le 1. Portanto
\sqrt{2}\,\frac{y}{\sqrt{x+y}}\le \sqrt{2}\,\sqrt{y}.
Como y\to0^{+} implica \sqrt{y}\to0, concluímos que o termo à direita converge para 0. Assim, pela desigualdade encadeada e pelo teorema do confronto (squeeze theorem), a expressão original também converge para 0.

Passo 7

Resumo do raciocínio em forma direta:
0\le \sqrt{\frac{y^{2}(x+y-xy)}{x^{2}+y^{2}}} \le \sqrt{2}\,\sqrt{y}\xrightarrow[y\to0^{+}]{}0.
Portanto o limite existe e é 0.

Resposta

0

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