Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: \lim _{(x, y) \rightarrow\left(0^{+}, 0^{+}\right)} \sqrt{\frac{x y^{2}+y^{3}-x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}.
Explicando a factorização: foi tirado o fator comum y^{2} de cada termo do numerador. Isso ajuda a visualizar a ordem de grandeza em y.
Passo 3
Verifico que a expressão dentro da raiz é não-negativa quando x,y>0 suficientemente pequenos. De fato, para 0<y<1 tem 1-y>0 e
x+y-xy = x(1-y)+y >0,
portanto o numerador y^{2}(x+y-xy) é não-negativo. Como estamos aproximando por y\to0^{+}, para pontos suficientemente próximos do zero vale 0<y<1, então a raiz é bem definida e real. (Essa observação impede problemas com raiz de número negativo.)
Passo 4
Vou obter uma cota superior conveniente para a expressão, para poder aplicar o teorema do confronto. Como x+y-xy \le x+y (porque -xy\le0), temos
Agora manipulo \sqrt{\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}} para uma cota simples que tenda a zero quando y\to0^{+}. Uso a desigualdade
x^{2}+y^{2}\ge \tfrac{1}{2}(x+y)^{2},
que é verdadeira porque (x-y)^{2}\ge0 implica x^{2}+y^{2}\ge x y + \tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) e, reorganizando, chega-se à forma exibida (ou verificar diretamente expandindo \tfrac{1}{2}(x+y)^{2}). A partir disso,
Como y\to0^{+} implica \sqrt{y}\to0, concluímos que o termo à direita converge para 0. Assim, pela desigualdade encadeada e pelo teorema do confronto (squeeze theorem), a expressão original também converge para 0.