Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o limite, se existir, ou mostrar que não existe, de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • Note que a expressão não está definida em (0,0) porque o denominador fica zero; isso não impede calcular o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) por outros pontos.

Passo 2

Vou explicar uma ideia muito útil para limites em duas variáveis: usar coordenadas polares. Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0 é a distância do ponto (x,y) à origem e \theta é o ângulo. Aproximar (x,y) por (0,0) equivale a fazer r\to 0^+ (o ângulo \theta pode ficar fixo ou variar).
Substituindo x e r na função em polares (válido para r>0) obtemos:
\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{2(r\cos\theta)}{r}.
Como r>0 podemos simplificar r no numerador com o do denominador, ficando:
\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2\cos\theta \qquad (r>0).
A expressão encontrada mostra que, para qualquer ponto (x,y)\neq(0,0), o valor de f(x,y) depende apenas do ângulo \theta e não do raio r. Portanto, ao fazer (x,y)\to(0,0) (ou seja, r\to 0^+), o comportamento de f ao redor da origem é dado por 2\cos\theta: se nos aproximarmos pela direção indicada por um certo \theta, o valor tende a 2\cos\theta.

Passo 3

Para existir o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) é necessário que todas as direções de aproximação dêem o mesmo valor. Mas como o valor depende de \theta, podemos testar direções diferentes para ver se os valores coincidem.
Escolhemos três direções simples:
  • Aproximação ao longo do eixo x positivo: \theta=0. Então 2\cos\theta=2\cos 0=2.
  • Aproximação ao longo do eixo x negativo: \theta=\pi. Então 2\cos\theta=2\cos\pi=2(-1)=-2.
  • Aproximação ao longo do eixo y: \theta=\tfrac{\pi}{2}. Então 2\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{2}=0.
Esses três valores são diferentes ( 2, -2 e 0), logo há direções de aproximação que levam a limites distintos.

Passo 4

Concluímos: como o limite depende do ângulo de aproximação e obtivemos valores diferentes seguindo caminhos distintos, o limite em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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