Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o limite, se existir, ou mostrar que não existe, de
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - Note que a expressão não está definida em
porque o denominador fica zero; isso não impede calcular o limite quando se aproxima de por outros pontos.
Passo 2
Vou explicar uma ideia muito útil para limites em duas variáveis: usar coordenadas polares. Em coordenadas polares definimos
onde
é a distância do ponto
à origem e
é o ângulo. Aproximar
por
equivale a fazer
(o ângulo
pode ficar fixo ou variar).
Substituindo
e
na função em polares (válido para
) obtemos:
Como
podemos simplificar
no numerador com o do denominador, ficando:
A expressão encontrada mostra que, para qualquer ponto
, o valor de
depende apenas do ângulo
e não do raio
. Portanto, ao fazer
(ou seja,
), o comportamento de
ao redor da origem é dado por
: se nos aproximarmos pela direção indicada por um certo
, o valor tende a
.
Passo 3
Para existir o limite
é necessário que todas as direções de aproximação dêem o mesmo valor. Mas como o valor depende de
, podemos testar direções diferentes para ver se os valores coincidem.
Escolhemos três direções simples:
- Aproximação ao longo do eixo
positivo: . Então . - Aproximação ao longo do eixo
negativo: . Então . - Aproximação ao longo do eixo
: . Então .
Esses três valores são diferentes (
,
e
), logo há direções de aproximação que levam a limites distintos.
Passo 4
Concluímos: como o limite depende do ângulo de aproximação e obtivemos valores diferentes seguindo caminhos distintos, o limite em
não existe.
Resposta
O limite não existe.