Calcule a integral de C de -y d x /(x^wed>= 2+4 y^wed>= 2)+x(x+y) d y /(x^wed>= 2+4 y^wed>= 2) em que C é a parte da reta x+y=1 de (1,0) até (0,1).

Passo 1

Esse exercício é sobre integral de linha de uma 1-forma diferencial ao longo de uma curva. Precisamos calcular
integralC l(-yx^2+4y^2,dx + x(x+y)x^2+4y^2,dyr)
em que C é o segmento de reta dado por x+y=1 de (1,0) até (0,1). Vamos parametrizar C e inserir a parametrização na integral.

Passo 2

Parametrizamos a reta x+y=1 por
x=1-t, y=t, 0<= t<=1
Então
dx=-dt, dy=dt

Passo 3

Substituímos na integral e notamos que x+y=1. Logo
-y,dx=-t(-dt)=t,dt,
x(x+y),dy=(1-t)cdot1,dt=(1-t),dt
O denominador é x^2+4y^2=(1-t)^2+4t^2, então o integrando fica
t+(1-t)(1-t)^2+4t^2 = 15t^2-2t+1

Passo 4

Precisamos então calcular
integral0^1 dt5t^2-2t+1
Fazendo o quadrado completo no denominador:
5t^2-2t+1 =5l(t-15r)^2 + 45
Com a mudança u=t-1/5, a integral vira
5integralu=-1/5^4/5 du25u^2+4 = 12l[arctanl(tfrac5u2r)r]-1/5^4/5

Passo 5

Avaliando os limites:
12l(arctan2 - arctan(-tfrac12)r) = 12l(arctan2 + arctantfrac12r)
Como arctan2+arctantfrac12=pi2, o resultado é
12cdotpi2 = pi4

Resposta

pi4

Exercícios relacionados