Dada a função f(x, y)=cl2 x+y-3 & se x=1 ou y=1 3 & se x neq 1 e y neq 1
(a) Calcule partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1)

Passo 1

O enunciado define a função por partes e pede as derivadas parciais em (1,1). O conteúdo é derivada parcial de função de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de derivada parcial naquele ponto.

Passo 2

A derivada parcial de f em relação a x no ponto (1,1) é definida por
partial fpartial x(1,1)=limhto0f(1+h,1)-f(1,1)h
and a de f em relação a y por
partial fpartial y(1,1)=limhto0f(1,1+h)-f(1,1)h

Passo 3

Antes de calcular o limite, avaliamos f(1,1). Como x=1 ou y=1, usamos a primeira regra:
f(1,1)=2cdot1+1-3=0

Passo 4

Para partial f/partial x, no ponto (1,1) ao variar x para 1+h com y=1 temos x\ne1 mas y=1, então ainda vale f(x,y)=2x+y-3. Logo:
f(1+h,1)=2(1+h)+1-3=2h
e o quociente é
f(1+h,1)-f(1,1)h=2h-0h=2 O limite quando h→0 é 2.

Passo 5

Para partial f/partial y, fixamos x=1 e variamos y para 1+h. Como x=1, usamos novamente f(x,y)=2x+y-3. Então:
f(1,1+h)=2cdot1+(1+h)-3=h
e
f(1,1+h)-f(1,1)h=h-0h=1 O limite quando h→0 é 1.

Resposta

partial fpartial x(1,1)=2 e partial fpartial y(1,1)=1

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